一、本週教學進度：6.3 ，6.4．
二、教學內容：
本週我們主要學習
1． 解直角三角形的基本方法
2． 解直角三角形的應用
三、重點、難點剖析
學習銳角三角函式後，在 rtδabc中，∠c＝90o．有如下的關係：
邊與邊間的關係
a2＋b2＝c2 (勾股定理)．
角與角間的關係
∠a＋∠b＝90o（兩銳角互為餘角）．
邊、角間的關係
sina＝, cosa＝,
tga＝， ctga＝．（銳角三角函式定義）
上面這些關係是解直角三角形的工具，必須牢牢掌握．
在解直角三角形的問題中，除了要掌握好上述工具外，還應當注意哪些呢？
１．我們知道，三角形的三條邊、三個角是三角形的六個元素．解直角三角形是給出其中某些元素，把其餘元素都求出來的過程，除了要掌握上述的工具外，還應當知道給出哪些條件，才能求出其餘元素．
顯然，只有當所給條件能確定唯一的乙個直角三角形時，這個直角三角形才是可解的．對照兩個直角三角形全等的判定定理．我們將具有下面的條件之一的直角三角形，稱為可解直角三角形：
（1） 已知直角三角形的兩邊；
（2） 已知直角三角形的一邊及一銳角．
２．當乙個直角三角形唯一確定時，它的周長、面積也應當是唯一確定的，因此解直角三角形時，除了邊、角以外，還可求與周長、面積有關的問題．今後在學了「圓」以後，其內容將更加豐富．
四、典型例題
例１ 根據下列條件解直角三角形
（１）在 rtδabc中，∠c＝90o，c＝10，∠a＝30o.
（２）在rtδabc中，∠c＝90o，a＝50，c＝.
解 （１）∵∠a＝30o， ∴∠ｂ＝90o－30o＝60o.
又 ∵ sina＝sin30o＝，∴ a＝＝５.
cosa＝cos30o＝＝， ∴ b＝＝.
或由勾股定理得b＝＝.
說明通過本例可看出在學習了三角函式後，通過邊角間的三角函式關係解三角形更為簡便．
（２）∵ sina＝，又 ∵ a為銳角， ∴ ∠a＝45o.
∴ ∠b＝90o－∠a＝45o.
∵ sinb＝， ∴ b＝c sinb＝＝50.
說明熟記三角函式定義和特殊角的三角函式值，在解題中可提高解題速度.
例2 已知δabc中，ab＝ac，bc＝30，sδ＝，求此三角形頂角的度數及周長．
分析作等腰三角形底邊上的高ad，這樣就把斜
三角形問題轉化為解直角三角形的問題．由δabc的
面積和底邊長可求得高ad的長，則直角三角形abd
是乙個可解三角形．
解作adbc，d為垂足．
∴ sδabc＝bcad＝，
∴ ad＝．
∵ bd＝dc＝bc＝15,
在rtδabd中，ctg∠bad＝．
則∠bad＝60o, ∴ ∠bac＝120o.
又 ∵ sin60o＝， ∴ ab＝．
∴ ab＋ac＋bc＝．
答 δabc的頂角度數為120o，周長為．
例３ 如圖，鐵路的路基橫斷面是等腰梯形，斜坡ab的坡度為１∶，坡面ab的水平寬度為３公尺，基面ad寬２公尺，求路基高ae、坡角b和基底bc的寬．
分析由已知，垂足e和點b間的線段be的長．
是坡面ab的水平寬度，斜坡ab的坡度１∶就是
指tgb＝，由此可見δabe是可解的直角三
角形．由於等腰三角形是軸對稱圖形．從rtδabe中
求得be後，就不難得到基底bc的值．
解在rtδabe中，be＝３公尺．
∵ 斜坡ab的坡度為１∶， ∴ tgｂ＝，則∠b＝30o.
ae＝be tgb＝＝3（公尺）．
又∵ 等腰梯形是軸對稱圖形， ∴ bc＝ad＋２be＝２＋６（公尺）．
答路基高ae的長為3公尺，坡角b為30o，基底bc寬為（2＋6）公尺．
說明由於題中沒有精確度的要求，所以結果中可保留根號．
例４ 在海岸旁高200公尺的山頂上測得正西和正東兩船的俯角為15o和75o，求兩船間的距離．（已知tg15o＝２－）．
分析為了使實際問題表現得更直觀、形
象，通常都是畫個示意圖（見右圖），這樣就
十分清楚的看到欲求bc之長，可通過解直角
三角形abd和adc去解決．
解如圖， 在rtδabd中，∠b＝15o,ab＝200公尺，
∴ bd＝ad ctg15o＝200(２＋).
在rtδacd中，∠c＝75o, ad＝200公尺，
∴ dc＝ad ctg75o＝ad tg15o ＝200(２－).
則bc＝bd＋dc＝200(２＋)＋200(２－)＝800（公尺）．
答兩船間的距離為800公尺．
說明 （１）由點a觀察點b的俯角就是點b觀察點a的仰角，即∠abd；
（２）ctg75o＝ctg(90o－15o)＝tg15o；ctg15o＝．
例５ 在矩形abcd中，對角線ac＝10,面積為25,求兩對角線所夾角的度數．
分析如圖，求矩形abcd的兩條對角線夾角
指∠aob與∠boc，由於δaob、δboc都
不是直角三角形，而∠aob＝２∠acb，因此，
從rtδabc考慮問題解決的途徑．
解設∠acb＝α，ab＝x，bc＝y．
根據題意，得x2＋y2＝102, xy＝25.
解方程組 x2＋y2＝102,
x2 y2＝252 3
設x2 、y2是一元二次方程t2－102t＋3 252＝０的兩個根，解此方程得t１＝75, t2＝25,
則x2＝25，x＝5(捨去負值)， y2＝75， y＝5 (捨去負值)．
在rtδabc中，∵ tg30o.
則∠aob＝60o, ∠boc＝120o.
答兩條對角線所夾角的度數是60o或120o.
說明雖然rtδabc是可解的三角形，但是在等式xy＝25中不易求出x、y的值，因此必須要組成乙個關於x、y的方程組，在解答中之所以把xy＝25變為x2 y2＝25 3，
是因為既可避免開方的困難，又能達到利用根與係數關係的目的．
例６ 已知銳角δabc中，ac＝4,sina、sinｂ是方程4x2－2＝0的兩個根，且sina＜sinb．求ab、bc、∠c．
分析由於δabc不是直角三角形，∠a、∠b不是互餘的兩角，所以sina與sinb沒有直接關係，因此只能從解方程入手．
解解方程4x2－2＝０
得＝０， ∴ x1＝， x2＝．
∵ sina＜sinb， ∴ sina＝， sinb＝．
又∵ ∠a、∠b均為銳角， ∴∠a＝45o, ∠ｂ＝60o，則∠ｃ＝75o.
見圖，作cdab，d為垂足．
在rtδacd中，∠a＝45o, ac＝4,
則ad＝cd＝ac cos45o＝＝２．
在rtδbcd中，∠b＝60o, cd＝２,
則bd＝cd ctg60o＝, bc＝２bd＝．
∴ ab＝ad＋bd＝．
答 ab＝， bc＝， ∠c＝75o.
例７ 如圖，四邊形abcd中，∠bad＝60o，∠b＝∠d＝90o，bc＝11,cd＝2, 求對面線ac的長．
分析雖然δabc與δacd都是直角三
角形，但都不可能利用邊角關係直接求得ac的
長，考慮到∠bad＝60o, ∠b＝90o的特殊條件，
因此可設法得到乙個特殊的直角三角形．從而再
去尋求途徑．
解延長ad、bc相交於點e.
在rtδabe中，∠bae＝60o, ∴ ∠e＝30o.
在rtδcde中，∠e＝30o，cd＝2， ∴ ce＝4．
∵ bc＝11， ∴ be＝bc＋ce＝15．
則rtδabe中，ab＝be tge＝.
在rtδabc中，由勾股定理，得
ac＝ ＝．
練習一、選擇題
１．在δabc中，∠c＝90o，若ac∶ab＝1:2，則∠a與∠b的度數比為（ ）
２．已知等腰三角形三邊長分別為１、１和，則它的乙個底角為（ ）
ａ.150o60o45o30o
３．等邊三角形的高為5,則它的面積為（ ）
ａ.150150 ｃ.5025
４．直角三角形中，一銳角的正切值為3/4，周長為24，則斜邊長為（ ）
ａ.10121415
５．菱形的邊長為，一條對角線的長是另一條對角線長的２倍，則菱形的面積是（ ）
ａ．214
二、填空題
６．在rtδabc中，∠c＝90o，若a＝2，sina＝，則c＝ ，b＝ ．
sδabc＝ ．
７．在δabc中，∠c＝90o，ab＝，tgb＝，則ac＝ ．
bc＝ ．
８．δabc中，ab＝ac，adbc，d為垂足，若ad∶bc＝∶２，
則sinb＝ ，∠bac＝ ｏ．
９．δabc中，∠c＝90o，sδabc＝，a＝10,則∠a＝ o．
10. δabc中，∠a＋∠b＝90o,cosa＝，則sinb＝ ，若c＝10,
則a＝ ．
三、解答題
11. 如圖，甲、乙兩幢樓相距30公尺，從乙樓底b望
甲樓頂d仰角為45o,從甲樓頂d望乙樓頂a的
俯角為30o.
求乙樓高ab（保留兩個有效數字）
12. 如圖，在rtδabc中，∠c＝90o，ac＝6，ac邊上的中線bd＝，解
這個直角三角形．
第２題第３題）
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