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高三數學總複習教程（第5講）
一、本講內容
簡易邏輯
本講進度，
命題，四種命題的關係，充要條件
二、學習指導
邏輯是正確解題的基礎，邏輯錯誤會導致全功盡棄
是否命題的關鍵是看它能否判定真假，是否復合命題的標準在於該命題是否含有邏輯聯結詞：或、且、非，如果……，那麼……
原命題：若p，則q：逆命題：若q，則p：
否命題：若非p，則非q，逆否命題：若非q，則非p
原命題與逆否命題互為逆否，同真假
逆命題與否命題互為逆否，同真假.
反證法就是從原命題的否定出發，推出矛盾（這個矛盾，指的是與已知條件矛盾，或與公理，定理矛盾，或與假設矛盾）從而說明原命題的否定是錯誤的，這樣就確立了原命題的正確性。
要分清充分條件和必要條件，在證明充要條件時要分清充分性和必要性，若pq，則p是q 的充分條件，q是p的必要條件，即「推出人者為充分，被人推出者為必要」
三、典型例題講評
例1．在△abc中，p：∠a＞∠b， q1=sina＞sinb，q2：cosa＜cosb，q3：cota＜cotb，q4：sina＞cosb
其中p是：（i=1，2，3，4）的什麼條件？
p是q1的充要條件，原因如下：∠a＞∠ba＞b2rsina＞2rsinb， sina＞sinb；
p是q2的充要條件，原因如下：函式y=cosx在[0，π]上單調遞減，而a，b∈[0，π]，∴∠a＞∠bcosa＜cosb；
p是q3的充要條件，理由類似②
p既不是q4的充分條件，也不是q4的必要條件，理由如下：
若△abc，a=900，b=600，則sina＞cosb，若△abc中，a=1350，b=300，則sina＜cosb
例2．p為△abc內（含邊界）任一點，「p到三邊距離之和為定值」是「△abc是正三角形」的什麼條件？證明你的結論。
充要條件.
充分性，分別取p為a、b、c，則它到三邊距離之和分別為ha，hb，hc，由題設ha=hb=hc，由面積公式，a=b=c，△abc為正三角形
必要性，若p在頂點處（不妨設p在a點），則p到三邊距離之和即ha（當然與ha，hc相等，為定值）；若p點在邊上（不妨設在bc上），則p到三邊距離之和即p到b，c兩邊距離之和db+dc，∵s△abc=s△abp+s△acp.故有aha=a(db+db+dc)，∴db+dc當定值ha；若p點在三角形內部則s△abc=s△abp+s△bcp+s△acp，從而有aha=a(da+db+dc)，即da+db+dc=ha.
例3．已知函式f(x)在（－∞，+∞）上單調遞增，a、b∈r，對命題「若a+b≥0，則f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，則a+b≥0」
（1）寫出其逆命題，並證明它的真假.
（2）寫出其逆否命題，並證明它的真假.
（1）逆命題：「若f(a)+f(b) ≥f(－a)+f(－b)，則a+b≥0」這是乙個真命題，我們用反證法證明：
假設a+b＜0，即a＜－b，b＜－a，而f(x)單調遞增.
故f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a). 從而f(a)+f(b)＜f(－a)+ f(－b).與已知矛盾，說明假設錯誤.
∴a+b≥0
(2)逆否命題：「f(a)+f(b)＜f(－b)+ f(－a)，則a+b＜ 0」
這也是乙個真命題，可類（1）用反證法證明.
例4．已知p：≤2，q：x2―2x+1―m2≤0（m＞0）
又知非p是非q的必要條件，但不是充分條件，求取m的取值範圍。
先化簡 p即x∈[－1，11]，q即x∈[1－m，1+m]
非p：x＜－1或x＞11，非q：x＜1－ m或x＞1+m.
非q非p，故，解得m≥10
當m≥10時，―1與1―m不可能相等，故非p 非q.
∴m ∈
例5．已知曲線c1：f(x－y)=0，c2：g(x，y)=0，點m座標為（a，b），則m（c1∩c2）是的什麼條件？說明你的理由.
m（c1∩c2）即m∈（c1∩c2）之否定，亦即之否定，也就是f(x，y)≠0或g(x，y)≠0，故m（c1∩c2）
，即mc1，且mc2，亦即m（c1∩c2）.
∴ m（c1∩c2）
∴m（c1∩c2）是的必要條件，但不是充分條件.
例6．α∈（0，），求證：2α可作為乙個三邊長均為整數的直角三角形的乙個內角的充要條件是tanα是有理數.
充分性.
設tanα= （m，n∈n+，m ，n互質，m＞n）
則tan2α==，作兩直角邊長分別為2mn，m2－n2的直角三角形，則其斜邊長為= m2+n2，該三角形有一內角為2α，三角均為整數.
證法二：∵tanα=，故可作rt△abc，ac=nk，bc=mk（k∈n*）（如圖）作斜邊ab的中垂線交bc於d，則ad=bd，∠adc=2∠b
=2α，設cd=x，則ad=+x，整
理可得x=，取k=2m時x即當整數，此
時cd=x=m2－n2，ac=2mn，ad=bd=2m2―(m2―n2)
=m2+n2. 均為整數.
必要性：
設rt△abc中，∠b=2α，三邊均為整數，延長
cb到d，使bd=ab，則∠d=α，且dc=db+bc=
ab+bc為整數，tanα=∈q
證法二，rt△abc中，∠abc=2α，三邊
長均為整數，bd為角平分線=
=.∴=∈q
一、 鞏固練習
1．（1）x2+5＜4 （x∈r）
（2）ax2+bx+c=0是關於x的一元二次方程.
（3）若b2－4ac＜0，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為r或φ，
以上哪些是命題？哪些是真命題？
2．p為平面四邊形abcd內（含邊界）任意一點「p到四邊距離之和為定值」是「abcd是正方形」的什麼條件？證明你的結論.
3．1，，不可能是同一等差數列中的項
4．已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負根.
q：方程4x2+4(m－2)x+1=0沒有實數根.
若p或q真而p且q假，求實數m的取值範圍.
5．寫出命題p：「若m＞0，則關於x的方程x2+x－m=0有實數根」的逆命題，否命題和逆命題，並分別判斷它的真假.
6．已知p：＞3，q：≥0，非p是非q的什麼條件？證明你的結論。
7．求關於x的方程m2x2－(m+1)x+2=0根的總和為2的充要條件.
8．已知當＜a成立時，＜4也成立，求實數a的取值範圍。
9．若方程ax2－2x+1=0（a＞0）的小根x1＜1，大根x2∈（1，3），求實數a的範圍.
10．寫出命題「圓的兩相交弦若互相平分，則它們都是直徑」的逆命題，否命題和逆否命題，並判斷它們的真假。
11．若命題「a≥bc＞d」和「a＜be≤f」均真，則「c≤d」是「e≤f」的（ ）
（a）充分條件，但不是必要條件 （b）必要條件，但不是充分條件
（c）充要條件d）既不是充分條件，也不是必要條件
12．（1）p：「數列是常數列」，q：「數列既是等差數列，又是等比數列」
（2）p：「數列是等比數列」，q：「數列的前n項和sn=」.
（3）p：「點（n，sn）（n∈n+）都在一條過原點的拋物線上」，q：「數列是等差數列」（sn是的前n項之和）
（4）已知：數列的前n項和sn=pn+q（p≠0且p≠1），p：「q=－1」q：數列是等比數列.
以上四題中，p是q的充要條件者為標出相應題號即可）
13．已知兩個關於x的一元二次方程mx2－4x+4=0和x2－4mx+4m2+(4－4m)－9=0，求兩方程的根都是整數的充要條件。
五、參***
1．∵x2+5=(x2+1)+4≥4.故可判斷（1）是乙個假命題；當a≠0時，ax2+bx+c=0才是關於x的一元二次方程，今不知a的取值情況，無法判斷其真假，故（2）不是命題；當a=0時，b2－4ac=b2不可能小於0，故由b2－4ac＜0知ax2+bx+c＞0是關於x的一元二次不等式，判別式＜0，解集必為r或φ，故（3）是命題，且是真命題。
2．必要條件，但不是充分條件，證明如下：
設abcd為正方形，當p為一頂點（不妨設是a）時，它到ab、ad距離為0，到cb、cd都相距a，和為2a；當p在邊上（不妨設在ab上）時，它到ab距離為0，到bc、ad距離之和為a，到cd距離為a，和仍為定值2a，當p在正方形內部時，p到ab、cd距離之和為a，到ad、bc距離之和也為a，總和仍為定值2a；
另一方面，當abcd雖不是正方形而是菱形時也有此性質，故不充分。
3．（反證法）假設1，，是同一等差數列中的三項，則必存在m，n∈z，m≠n，使－1=md，－1=nd（m，n均不當0，d≠0），於是=，整理成－=－，平方得=1+，
左為無理數，右為有理數，矛盾，說明假設錯誤。
∴1，，不可能是同一等差數列中的項。
4．p 或q真而p且q假p，q一真一假
當p真q假時，應滿足
解得m≥3，
當p假q真時，應滿足
解得m∈
∴m∈∪
5．逆命題：「若關於x的方程x2+x－m=0有實數根，則m＞0」；否命題：「m≤0，則關於x的方程x2+x－m=0沒有實數根」；逆否命題：
「若關於x的方程x2+x－m=0沒有實數根，則m≤0」.
當m＞0時，△=1+4m＞0，方程x2+x－m=0必有兩個不等實根，故原命題及逆否命題是真命題。
當方程x2+x－m=0，有實數根時，△=1+4m≥0，m≥－，而不一定要＞0，故逆命題及否命題是假命題。
6．p：x＞1或x＜―，非p：―≤x≤1
q：x∈r非q：x∈φ
非p與非q互相不能推出。∴非p既不是非q的充要條件，也不是非q的必要條件。
7．當m=0時，原方程即x=2，滿足條件
當m≠0時， =2，m=1或－。
但△=(m+1)2－8m2，m=1及m=－均使△＜0。
故充要條件是m=0
8．即當x∈（2－a，2+a）時，x2＜5即x∈（－，）一定成立，∴(2－a，2+a)（－，）
a∈（0，－2）
9．ax2－2x+1=0（a＞0）一根＜1，一根∈（1，3）的充要條件是
a∈（，1）
10．逆命題：「圓的兩直徑互相平分」，否命題「圓的兩條相交弦若不互相平分，則它們不都是直徑」；逆否命題：「圓的兩相交弦若不都是直徑，則它們不相互平分」。
∵圓的兩相交弦互相平分，∴交點是它們的中點，則交點與圓心的連線與這兩條弦都垂直，這與平面內過一點作已知直線的垂線只能作一條相矛盾，除非交點就是圓心，此時兩弦都是直徑。
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