一. 本週教學內容：
用頻率估計概率、課題學習——鍵盤上字母的排列規律
【知識回顧】
概率事件發生的可能性，也稱為事件發生的概率.
利用樹狀圖或**可以清晰地表示出某個事件發生的所有可能出現的結果;從而較方便地求出某些事件發生的概率.用樹狀圖和列表的方法求概率時應注意各種結果出現的可能性務必相同.
頻數，頻率在考察中，每個物件出現的次數稱為頻數，而每個物件出現的次數與總次數的比值稱為頻率.
當試驗次數很大時，乙個事件發生的頻率穩定在相應的概率附近.因此，我們可以通過多次試驗，用乙個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率.
概率是對隨機現象的一種數學描述，它可以幫助我們更好地認識隨機現象，並對生活中的一些不確定情況作出自己的決策.
從表面上看，隨機現象的每一次觀察結果都是偶然的，但多次觀察某個隨機現象，立即可以發現：在大量的偶然之中存在著必然的規律.
例1. 要知道乙個魚缸裡有多少條魚，只要數一數就可以了.
但要估計乙個魚塘裡有多少條魚，該怎麼辦呢?
先考慮乙個比較簡單的問題：
問題1乙個口袋中有8個黑球和若干個白球，如果不許將球倒出來數，那麼你能估計出其中的白球數嗎?
方法1從口袋中隨機摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中.不斷重複上述過程.我共摸了200次，其中有57次摸到黑球，因此我估計口袋中大約有20個白球.
假設口袋中有x個白球，通過多次試驗，我們可以估計出從口袋中隨機摸出一球，它為黑球的概率；另一方面，這個概率又應等於8/(8+x)，據此可估計出白球數x.
這是一種方案，你能理解並運用到實踐中嗎?
方法2利用抽樣調查的方法，從口袋中一次隨機摸出10個球，求出其中黑球數與10的比值，再把它放回口袋中.不斷重複上述過程.我總共摸了20次，黑球數與10的比值的平均數為0.
25，因此我估計口袋中大約有24個白球.
假設口袋中有x個白球，通過多次抽樣調查，求出樣本中黑球與總球數比值的「平均水平」，這個「平均水平」就接近於8/(8+x)，據此，我們可以估計出白球數x的值。
這又是一種方案，你能理解並運用到實踐中嗎?
相比較而言，方法2更具有現實意義.當然，當總數較小時，用方法2估計，其精確度可能較差，但對於許多實際問題（其總數往往較大），這種精確度是允許的，而且這種方法方便可行。
問題2如果口袋中只有若干個白球，沒有其它顏色的球，而且不允許將球倒出來數，那麼你如何估計出其中的白球數呢?
可以向口袋中另放幾個黑球，也可以從口袋中抽出幾個球並把它們染成黑色或做上標記
現在，你能設計乙個方案估計某魚塘中魚的總數了嗎?
從表面上看，隨機現象的每一次觀察結果都是偶然的，但多次觀察某個隨機現象，立即可以發現：在大量的偶然之中存在著必然的規律。
例2. 在有乙個10萬人的小鎮，隨機調查了2000人，其中有250人看**電視台的早間新聞.在該鎮隨便問乙個人，他看早間新聞的概率大約是多少?
該鎮看**電視台早間新聞的大約是多少人?
解：根據概率的意義，可以認為其概率大約等於250/2000＝0.125.
該鎮約有100000×0.125＝12500人看**電視台的早間新聞.
用摸擬試驗的方法求無放回事件概率
例3. 乙個密碼鎖的密碼由四個數字組成，每個數字都是0－9這十個數字中的乙個，只有當四個數字與所設定的密碼相同時，才能將鎖開啟.粗心的小明忘了其中中間的兩個數字，他一次就能開啟該鎖的概率是多少?
解：其概率為1/100. 第一次從0－9這10個數字中抽取1個數字，其概率為1/10；第二次仍從0－9中抽取第二個數字，其概率仍為1/10.故概率為1/100.
例4. 為了估計水塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中捕獲n條魚，在每一條魚身上做好記號後把這些魚放歸魚塘。再從魚塘中打撈a條魚，如果在這a條魚中有b條魚是有記號的，則魚塘中魚的條數可估計為an/b.
你認為這種估計方法有道理嗎?為什麼?
解：有道理.設有x條魚，則有n/x＝b/a，解得x＝an/b.
例5. 在乙個不透明的口袋裡裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學習小組做摸球實驗，將球攪勻後從中隨機摸出乙個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重複. 下表是活動進行中的一組統計資料：
⑴請估計：當很大時， 摸到白球的頻率將會接近
⑵假如你去摸一次， 你摸到白球的概率是摸到黑球的概率是
⑶試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只?
答案：（1）0.6； （2）0.6； 0.4； （3）8，12.
例6. 小明在操場上做遊戲，他發現地上有乙個不規則的封閉圖形abc。為了知道它的面積，小明在封閉圖形內劃出了乙個半徑為a公尺的圓，在不遠處向圈內擲石子，且記錄如下：
你能否求出封閉圖形abc的面積？試試看。
解：隨著投擲石子的次數的增加，投在⊙o內石子的頻率穩定在0.5，因此可以認為陰影部分的面積和⊙o的面積相等，所以封閉圖形abc的面積因該是⊙o面積的2倍，即封閉圖形abc的面積為2πa2平方公尺。
調查活動：
到相關部門查詢一下當地的汽車總數，組成合作小組，設計乙個方案估計一下當地某種汽車的數量，並繼續查詢有關機關，檢驗你們的估計結果.同班交流各組結果，討論如何獲得更為精確的估計值.
（答題時間：40分鐘）
［基礎演練］
1、某市氣象局預報稱：明天本市的降水概率為70%，這句話指的是
a. 明天本市70%的時間下雨，30%的時間不下雨
b. 明天本市70%的地區下雨，30%的地區不下雨
c. 明天本市一定下雨
d. 明天本市下雨的可能性是70%
2、小明的書包裡共有外觀、質量完全一樣的5本作業簿，其中語文2本，數學2本，英語1本，那麼小明從書包裡隨機抽出一本，是數學作業本的概率為（ ）
a. b. c. d.
3、某電視台舉行歌手大獎賽，每場比賽都有編號為1～10號共10道綜合素質測試題供選手隨機抽取作答。在某場比賽中，前兩位選手分別抽走了2號，7號題，第3位選手抽中8號題的概率是（ ）。
a. b. c. d.
4、現有a、b兩枚均勻的小立方體（立方體的每個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6）.用小莉擲a立方體朝上的數字為、小明擲b立方體朝上的數字為來確定點p（），那麼它們各擲一次所確定的點p落在已知直線上的概率為（ ）
a. b. c. d.
5、乙個均勻的立方體各面上分別標有數字1，2，3，4，6，8，其表面展開圖是如圖所示，拋擲這個立方體，則朝上一面的數字恰好等於朝下一面上的數字的2倍的概率是（ ）
a. b. cd.
6、在拼圖遊戲中，從圖1的四張紙片中，任取兩張紙片，能拼成「小房子」（如圖2）的概率等於（ ）
a、1 b、
c、 d、
7、某商場在「五一」期間推出購物摸獎活動，摸獎箱內有除顏色以外完全相同的紅色、白色桌球各兩個．顧客摸獎時，一次摸出兩個球，如果兩個球的顏色相同就得獎，顏色不同則不得獎．那麼顧客摸獎一次，得獎的概率是
8、如圖是由8塊相同的等腰直角三角形黑白瓷磚鑲嵌而成的正方形地面示意圖，乙隻螞蟻在上面自由爬動，並隨機停留在某塊瓷磚上，則螞蟻停留在黑色瓷磚上（不考慮停留在邊界的情況）的概率是 ．
9、一套書共有上、中、下三冊，將它們任意擺放到書架的同一層上，這三冊書從左向右恰好成上、中、下順序的概率為 。
10、某班級中男生和女生若干個，若隨機抽取1人，抽到男生的概率是4/5，則抽到女生的概率為 .
11、四張撲克牌的牌面如圖①所示，將撲克牌洗均勻後，如圖②背面朝上放置在桌面上。
（1）若隨機抽取一張撲克牌，則牌面數字恰好為5的概率是
（2）規定遊戲規則如下：若同時隨機抽取兩張撲克牌，抽到兩張牌的牌面數字之和是偶數為勝；反之，則為負。你認為這個遊戲是否公平？請說明理由。
［綜合測試］
1、北京08奧運會吉祥物是「貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮」。現將三張分別印有「歡歡、迎迎、妮妮」這三個吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀大小一樣，質地相同）放入盒子。（1）小玲從盒子中任取一張，取到印有「歡歡」圖案的卡片的概率是多少？
（2）小玲從盒子中任取一張卡片，記下名字後放回，再從盒子中任取第二張卡片，記下名字。用列表或畫樹狀圖列出小玲取到的卡片的所有可能情況，並求出小玲兩次都取到印有「歡歡」圖案的卡片的概率。
2、某校有a、b兩個餐廳，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的乙個餐廳用餐．
（1）求甲、乙、丙三名學生在同乙個餐廳用餐的概率；
（2）求甲、乙、丙三名學生中至少有一人在b餐廳用餐的概率．
[參***]
［基礎演練］
1. d 2. b 3.
c 4. c 5. c 6.
d 7. 1/3 8. 0.
5 9. 1/6 10. 1/5
11. （1）0.5；（2）這個遊戲不公平。用樹形圖排列如圖所示：
由上表可知，共有12種情況，每種情況發生的可能性相同，兩張牌的牌面數字為偶數的情況有4種，而兩張牌的牌面數字為奇數的有8種，因而抽到兩張牌的牌面數字之和是偶數的概率為4/12＝1/3，抽到牌面數字之和為奇數的概率為8/12＝2/3，1/3＜2/3.負的概率大於取勝的概率，所以該遊戲不公平。
［綜合測試］
1、（1）1/3；（2）用樹形圖排列如下：
由上表可知，共有12種情況，每種情況發生的可能性相同，兩次都取到歡歡的情況有1種，因此小玲兩次都取到印有「歡歡」圖案的卡片的概率為1/12.
2、解：（1）甲、乙、丙在a餐廳用餐的概率和在b餐廳用餐的概率都是1/2，
根據乘法原理：甲、乙、丙都在a餐廳用餐的概率或在b餐廳用餐的概率都是1/8，因此再根據加法原理可知甲、乙、丙三名學生在同乙個餐廳用餐的概率為1/8+1/8＝1/4。
（2）甲、乙、丙都在a餐廳用餐的概率為1/8，因此甲、乙、丙三名學生中至少有一人在b餐廳用餐的概率為1－1/8＝7/8。
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