2023年山東省普通高等教育專公升本考試
2023年山東專公升本暑期精講班核心講義
高職高專類
高等數學
經典方法及典型例題歸納
—經管類專業：會計學、工商管理、國際經濟與**、電子商務
—理工類專業：電氣工程及其自動化、電子資訊工程、機械設計製造及其自動化、交通運輸、電腦科學與技術、土木工程
2023年5月17日星期五
曲天堯編寫
一、求極限的各種方法
1．約去零因子求極限
例1：求極限
【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去。
【解】=4
2．分子分母同除求極限
例2：求極限
【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。
【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；
(2)3．分子(母)有理化求極限
例3：求極限
【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。
【解】例4：求極限
【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵
4．應用兩個重要極限求極限
兩個重要極限是和，第乙個重要極限過於簡單且可通過等價無窮小來實現。主要考第二個重要極限。
例5：求極限
【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最後湊指數部分。
【解】例6：(1)；(2)已知，求。
5．用等價無窮小量代換求極限
【說明】
(1)常見等價無窮小有：
當時, ,
；(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；
(3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。
例7：求極限
【解】 .
例8：求極限
【解】6．用洛必達法則求極限
例9：求極限
【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求。
【解】【注】許多變動上顯的積分表示的極限，常用洛必達法則求解
例10：設函式f(x)連續，且，求極限
【解】 由於,於是
==7．用對數恒等式求極限
例11：極限
【解】 ==
【注】對於型未定式的極限，也可用公式=因為
例12：求極限.
【解1】 原式
【解2】 原式
8．利用taylor公式求極限
例13 求極限.
【解】 ,
;.例14 求極限.
【解】.9．數列極限轉化成函式極限求解
例15：極限
【說明】這是形式的的數列極限，由於數列極限不能使用洛必達法則，若直接求有一定難度，若轉化成函式極限，可通過7提供的方法結合羅必塔法則求解。
【解】考慮輔助極限
所以，10．n項和數列極限問題
n項和數列極限問題極限問題有兩種處理方法
(1)用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算;
(2)利用兩邊夾法則求極限.
例16：極限
【說明】用定積分的定義把極限轉化為定積分計算,是把看成［0,1］定積分。
【解】原式＝
例17：極限
【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解；
(2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。
【解】因為
又所以 ＝１
11．單調有界數列的極限問題
例18：設數列滿足
（ⅰ）證明存在，並求該極限；
（ⅱ）計算.
【分析】 一般利用單調增加有上界或單調減少有下界數列必有極限的準則來證明數列極限的存在.
【詳解】 （ⅰ）因為，則.
可推得 ，則數列有界.
於是 ，（因當）， 則有，可見數列單調減少，故由單調減少有下界數列必有極限知極限存在.
設，在兩邊令，得 ，解得，即.
（ⅱ） 因 ，由（ⅰ）知該極限為型，
(使用了洛必達法則)
故 .二、常見不定積分的求解方法的討論
0. 引言
不定積分是《高等數學》中的乙個重要內容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關積分的函式的基礎，要解決以上問題，不定積分的問題必須解決，而不定積分的基礎就是常見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運算時有一定的法則，它要根據不同題型的特點採用不同的解法，積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且也已證明，有許多初等函式是「積不出來」的，就是說這些函式的原函式不能用初等函式來表示，例如
（其中）；；；等。
這一方面體現了積分運算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發展。同時，同一道題也可能有多種解法，多種結果，所以，掌握不定積分的解法比較困難，下面將不定積分的各種求解方法分類歸納，以便於更好的掌握、運用。
1. 不定積分的概念
定義：在某區間i上的函式，若存在原函式，則稱為可積函式，並將的全體原函式記為
稱它是函式在區間i內的不定積分，其中為積分符號，稱為被積函式，稱為積分變數。
若為的原函式，則：
c(c為積分常數)。
在這裡要特別注意，不定積分是某一函式的全體原函式，而不是乙個單一的函式，它的幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：
和 是不相等的，前者的結果是乙個函式，而後者是無窮多個函式，所以，在書寫計算結果時一定不能忘記積分常數。
性質：1.微分運算與積分運算時互逆的。
注：積分和微分連在一起運算時：
——————>完全抵消。
>抵消後差一常數。
2.兩函式代數和的不定積分，等於它們各自積分的代數和，即： =±。
3.在求不定積分時，非零數可提到積分符號外面，即：
0)。 在這裡，給出兩個重要定理：
(1)導數為0的函式是常函式。
(2)若兩函式的導數處處相等，則兩函式相差乙個常數。
以便於更好的解決一些簡單的不定積分問題。
上面將不定積分的概念以及性質做了簡單的介紹，下面，我們開始討論不定積分的各種求解方法。
2. 直接積分法(公式法)
從解題方面來看，利用不定積分的定義來計算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運算性質和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法(另稱公式法)。
下面先給出基本求導公式：
(12)
(34)
(5) (6)
(78)
(910)
(11)。
根據以上基本求導公式，我們不難匯出以下基本積分表：
(1) (2)
(34)
(5) (6)
(78)
(9) (10)
(11)。
下面舉例子加以說明：
例2.1： 求
解原式=
注意：這裡三個積分常數都是任意的，故可寫成乙個積分常數。所以對乙個不定積分，只要在最後所得的式子中寫上乙個積分常數即可，以後遇到這種情況不再說明。
例2.2： 求
解原式==
注：此處有乙個技巧的方法，這裡先稱作「加1減1」法，相當於是將多項式拆分成多個單項式，然後利用基本積分公式計算，下面的例題中還會遇到類似的題型，遇到時具體講解。
直接積分法只能計算較簡單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對於稍微複雜一點的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。
3. 第一類換元法(湊微法)
利用基本積分公式和積分性質可求得一些函式的原函式，但只是這樣遠不能解決問題，如
就無法求出，必須將它進行變形，然後就可以利用基本積分公式求出其積分。
如果不定積分用直接積分法不易求得，但被積函式可分解為
作變數代換，並注意到，則可將關於變數的積分轉化為關於的積分，於是有
如果可以求出，不定積分的計算問題就解決了，這就是第一類換元法(湊微分法)。
注：上述公式中，第乙個等號表示換元，最後乙個等號表示回代.
下面具體舉例題加以討論
例3.1：求.
解原式=
對變數代換比較熟練後，可省去書寫中間變數的換元和回代過程。
例3.2：求.
解原式例3.3：求
解在這裡做乙個小結，當遇到形如：的不定積分，可分為以下3中情況：
的：①大於0時。可將原式化為，
其中，x1、x2為的兩個解，則原不定積分為：
②等於0時。可利用完全平方公式，然後可化成。然後根據基本微分公式(2)便可求解。
③小於0時。形如例4，可先給分母進行配方。然後可根據基本積分公式(4)便可求解。
例3.4： 求
解原式 該題也可利用三角函式之間的關係求解：
原式 雖然兩種解法的結果不同，但經驗證均為的原函式，這也就體現了不定積分的解法以及結果的不唯一性。
例3.5：求.
解例3.6：求.
解註：當被積函式是三角函式的乘積時，拆開奇次項去湊微分。當被積函式為三角函式的偶數次冪時，常用半形公式通過降低冪次的方法來計算；若為奇次，則拆一項去湊微，剩餘的偶次用半形公式降冪後再計算。
例3.7：求.
解原式注：這裡也就是類似例2所說的方法，此處是「減1加1」法。
4. 第二類換元法
如果不定積分用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作適當的變數替換後，所得到的關於新積分變數的不定積分
可以求得，則可解決的計算問題，這就是所謂的第二類換元(積分)法。
設是單調、可導函式，且，又設具有原函式，則
，其中是的反函式。
注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。
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