高等數學基礎學習輔導（7）
導數的應用例題講解（二）
（一）計算題
1. 解：
2.解：＝3.
解：4.
解：＝＝
5. 求函式的單調區間。
解：函式的定義區間為，
由於令，解得，這樣可以將定義區間分成和兩個區間來討論。
當時，；當是，。
由此得出，函式在內單調減少，在內單調增加。
6. 求y＝x－ln(1＋x)的單調區間
解： y的定義域為（－1，＋∞）
令 ，得駐點：x＝0。列表如下：
即單調減少區間為（－1，0），單調增加區間為（0，＋∞）。
7. 求y＝x2e－x的極值
解： 函式y的定義域是（－∞，＋∞）
令 ，得駐點：x1＝0，x2＝2。列表如下：
即極小值為：y(0)＝0，極大值為：y(2)＝4e－2
8. 求曲線y＝2x3＋3x2－12x＋1的凹凸區間及拐點
解：函式y的定義域是（－∞，＋∞）
令 。列表如下：
即凹區間為： ，凸區間為：
拐點為：
9. 求曲線的單調區間、極值點、凹凸區間和拐點。
解： 令,駐點為
單調區間分為, ,
, ,單調減少
, ,單調增加
, ,單調減少
單調增加區間是，
單調減少區間是
極大值點是，極小值點是
,解得,
凹凸區間分為, , ,
, ,是凸的
, ,是凹的
, ,是凸的
, ,是凹的
則的凹區間是，
凸區間是
拐點是。
(二)、應用題
1. 求曲線上的點，使其到點的距離最短.
解： 曲線上的點到點的距離公式為
與在同一點取到最大值，為計算方便求的最大值點，
將代入得
求導得令得.並由此解出，
由於該問題確實有最小值
曲線上的點和點到點的距離最短.
2. 試在橢圓上求一點p，使它與定點（1，0）的距離最短。
解： 設該點為p(x，y)，則它滿足橢圓方程，有
它與定點（1，0）的距離平方為：
s＝d2＝(x－1)2＋y2＝
令 ，此時，
由於該問題確實有最小值，故所求p點為
3. 欲做乙個底為正方形，容積為108立方公尺的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最省？
解：設底邊邊長為，高為，所用材料為
且令得，且因為，所以是極小值值也是最小值.此時。
於是以6公尺為底邊長，3公尺為高做長方體容器用料最省。
4. 要造乙個容積為v的圓柱形容器（無蓋），問底半徑和高分別為多少時，所用材料最省？
解：設圓柱形容器的底半徑和高分別為r、h，
則有 v＝πr2h 或
所用材料就是其表面積（即側面積和底面積），為
令 由於該問題確有最小值，故當底半徑和高都為時，所用材料最省。
5. 要建造乙個容積為v的有蓋圓柱形倉庫，問其高和底半徑為多少時用料最省？
解：設圓柱形容器的底半徑和高分別為r、h，
則有 v＝πr2h 或
所用材料就是其表面積（即側面積和上、下底面積），為
令 由於實際問題確有最小值，故當底半徑和高分別為時，所用材料最省。
6. 在半徑為r的半球內作一內接圓柱體，求其體積最大時的底面半徑和高。
解： 設圓柱體的底面半徑為x，則其高為，
於是圓柱體體積為
求導得令，得駐點
根據實際意義知應捨去，
故取。因時，；
時，，故是v的極大值點，從而也是v的最大值點。
故體積最大時，底面半徑和高分別是和。
7. 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l，問當底半徑與高分別為多少時，圓柱體的體積最大？
解： 如圖所示，圓柱體高與底半徑滿足
圓柱體的體積公式為
將代入得
求導得令得，並由此解出.
由於實際問題確有最小值
則當底半徑，高時，圓柱體的體積最大.
(三)、證明題：
1. 證明不等式
證明: 設函式，則有，並且對任意，函式在區間上應用拉格朗日中值定理，
得到其中，即
又由於，有
同時除以得
即成立.
2. 當時，證明不等式
證設函式，因為在上連續可導，所以在上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得
其中，即
又由於，有
故有兩邊同時取以為底的指數，有
即所以當時，有不等式成立.
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