（2023年11月20日）
一、 函式
函式是數學分析中的基本概念，主要考察考生對函式的概念及性質的理解和掌握。包括函式的連續性。閉區間上連續函式的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），並會應用這些性質。
問題1 試證不存在上的連續函式，使得在無理數集上是一一對映，在有理數集上不是一一對映。
證若不然，則存在，使得且。設在上的最大值和最小值分別為和。若在上取常值，則在無理數集上不是一一對映。於是或。不妨設，，則由可數、開區間不可數知。
任取某個，分別在和上應用介值性定理
必有和使得且。因，故和都是無理數，這與在無理數集上是一一對映矛盾。
問題2 若一族開區間覆蓋了閉區間，則必存在乙個正數，使得中的任意兩點滿足時，必屬於某個開區間。
證不妨設每個開區間都是有限區間。
（1） 作函式，。
（2） 連續，且。而閉區間上的連續函式一定有最小值，令。（連續性的證明：， =
，取上確界得
即，同理，於是
，故取，當時，
，所以是上的連續函式。）
（3），，因此存在，使得，從而。
（4）而滿足的點必在某個中(事實上取即可)，從而命題得證。
練習1 設在上可導，且。證明：對任意正數、，必存在內的兩個不同的數與，使
。證設，令c0=，則0< c0<1。因
且在[0, 1]上連續，由介值性定理存在，使得= c0。現在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理，存在，有
。同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在，有
。於是。命題得證。
二、 極限
數列和函式極限的計算，以及有關問題的討論，無窮階的比較，實數完備性理論及其應用。
問題3 設求。
證首先證明是遞增數列.
,假設成立，則
, 因此是遞增數列.
再證明是有界數列..
顯然成立.成立.
設成立，則
,因此，成立.
根據單調有界定理知知收斂，設,在兩邊取極限，得,解得或，但由於, 因此, 從而.
練習2 設，求。
證顯然首先證明，.
, 若假設, 則.根據歸納法可得成立.
又由, 即是遞增數列且有上界, 根據單調有界定理知收斂，設, 在兩邊取極限，得,解得或，但由於, 因此, 從而.
練習3 設，求證： 存在。
[分析] 兩個事實：1) 單調遞增；
2) 單調遞減。
有不等式
證 =，故{}單調下降，且=
。 存在。
注，其中是尤拉常數。
三、 積分中值定理
函式可導性的研究，微分中值定理及其應用，利用導數研究函式的性質（單調性，凹凸性等）以及導數的應用（極值、最大值和最小值等）。
問題4 設是常數，求證。
解由積分第一中值定理知，有
故原式。
練習4。
解由積分第一中值定理知，有
故原式==0。
四、 積分
不定積分和定積分的計算，定積分的性質以及變上，下限的積分，定積分的應用和廣義積分。
問題5 求積分。
解（1）
代入（1）得原式=
=。練習5 證明：。
分析：令。
練習6 證明。
分析：令，再利用積分第二中值定理。
定理： 設在上riemann可積，則
，使在處連續。
證明：作分劃。因在上riemann可積，取，存在，使
（其中，以下類似定義。）
所以，因此至少有三個，使。取使。作區間，則在上riemann可積。取，存在，使
於是，因此至少有三個，使。
取使。如此繼續可以得到乙個閉區間套
使得（1）；（2）在上的上下確界滿足。由閉區間套定理知。下證在處連續。
事實上，有。而由上述構造過程知，有，
此時故在處連續。
問題6 設函式在上riemann可積，且。試證明：存在閉區間，使得當時，。
[分析] 只需在區間上找乙個連續點，使得。利用定積分的定義，分點取連續點（上述定理保證存在連續點）即可。
練習7 若可積，則在連續點處恆等於0。
證必要性若在連續，但，則有，於是
，矛盾。
充分性 （取連續點）。
五、 其它
問題7 從已知的內部的點向三邊作三條垂線，求使此三條垂線長的乘積為最大的點的位置。
解：設到的距離分別為。則
，其中為的面積。
，等號當且緊當時成立，且可達到。
練習8 證明：銳角三角形內一點到三頂點聯線成等角時，該點到三頂點距離之和為最小。
練習9 求使得下列不等式對所有的自然數都成立的最大的數和最小的數： 。（）
問題10 設有函式列
求方程的一切實數解。
解 （1）首先驗證是方程的解。
（2）當時，用歸納法證明。
（3）當時，用歸納法證明。
問題11 設，，，若存在，使得，則是到的一一對映。
證只需證是單射。假設不是單射，則使得。因此，使得，。於是，從而。所以
，。於是，這與矛盾。故是到的一一對映。
（錢有華）
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