ch1.函式極限與連續
1. 求的反函式.
2. 求的反函式.
3. 求的反函式.
4. 設 ,求.
5. 設是定義在內的乙個函式,滿足關係:,求.
6. 設對一切實數,滿足關係式:,求.
7. 設函式的圖形關於兩直線和分別對稱,證明:函式為週期函式.
8. 設,試問是否連續.
9. 求的表示式.
10. 設,求
11. 求下列極限
12) ()
34)5) 6)
78)9) 10)
1112)
13) 14)
15) 16)
1718)
12. 設均為正數, ,求
13. 設, 求.
14. 設.求
15. 設,求.
16. 證明方程在(0,1)上必有乙個實根,並求.
17. 求.
18. 設雙曲線上橫座標分別為與點,.過點,及雙曲線的頂點的圓之圓心記為,求當時,點的極限位置.
ch2 導數
1. 求下列函式的導數:
12)34)56)2. 設,求
3. 設,求
4. 問在處有幾階導數?
5. 問在處有幾階導數?
6. 當時,與是同階無窮小.求.
7. 設為非零常數,求,並求此極限值.
8. 設與為等價無窮小,.求證:
12).
9. 求下列函式的階導數:
12)34)5) 10. 設,為正整數,求在點處的值.
11. 設,為正整數,求.
12. 求下列函式的二階導數:
1)2) 3)
4)13.設,求.
14.求導數:
1) 2)
3) 4)
15.設,問當為何值時,在處可導?並求.
16.設,求當時及的值.
17.設是單調連續函式的反函式,已知,求的值.
18.設對任意實數, 有,且, 證明.
19.設對任何恒有,且,試求與的關係.
20.設, , ,求.
21.設在處連續,且存在,試證在處可導.
22.設其中在點的領域內一階導數連續,求.
23.設在點可導,證明.
24.設具有二階連續導數,且求.
25.設與為等價無窮小, ,求證12).
26.設,且為常數.證明:.
27.設為常數, 且,.證明.
28.設函式在上滿足,對任意均有成立,其中為正常數, ,試證明恒為常數.
ch3 中值定理及導數應用
1. 求下列極限:
12),
34),
56),
78),
2. 設在上連續,在內可導, 且, 證明存在,使得.
3. 設在上連續,在內可導, 且, 證明存在,使得.
4. 設函式在上連續,在內可導,且證明至少存在一點,使得.
5. 設函式在上連續,在內可導,且, ,證明至少存在一點,使得.
6. 設在上可微,證明存在,使=.
7. 設在上連續,在內可導, 且, 證明存在,使得.
8. 設在上連續,在內可導, 且, 證明存在,
使得.9. 設,試證:,其中.
10. 證明至少存在一點,使得.
11. 設在上連續,在內可導,且.證明在內至少有一點使.
12. 設在上連續,在內二階可導,又設連線兩點的直線和曲線相交於點, ,求證存在,使得.
13. 設,在上可微, ,證明存在,使.
14. 設函式在上連續,在內可導,且,證明在內至少存在一點,使得.
15. 設在上定義的函式存在且單調減少, ,證明:.
16. 設在上連續,且當時, ,其中是常數,證明:如果,那麼方程在上有且僅有乙個根.
17. 設在二階可導, 且, 證明存在,使得.
18. 設在上二階可微, ,則.
19. 設函式在上二次可微,且, ,證明: 對任意的,有,.
20. 設在上, ,證明:對任意的, ,
,有.21. 若函式在上連續,在內有二階導數則在內至少存在一點,使.
22. 設在上連續, ,且,證明:在內至少有乙個零點.
23. 判斷方程有幾個實數.
24. 設函式在上二次可微,且,又,證明方程在內+有且僅有乙個實根.
25. 判定方程是否有根,有實根時,指出所在區間.
26. 試討論方程的實根.
27. 證明方程至多有三個實根.
28. 證明恒等式:.
29. 證明下列不等式:
12).,
3).設,則,
45).,
67),
8),9),
10).
30. 設在上連續,..證明:當時,單調增加.
31. 求函式的極值.
32. 求在上的最大值和最小值.
33. 求函式的凹凸區間和拐點.
34. 求的極值.
35. 求數列中值最大的一項.
36. 設某人自a點開車,到b點停止,沿直線行駛,全程長1000公尺,費時60秒,試證該車在途中某一點加速度的絕對值不小於.
37. 當,試證:,且, .
38. 設, 且,
求證:在內至少有個零點.
ch4 不定積分
1. 求下列不定積分:
12).,
34),
56),
78),
910),
1112),
1314),
1516),
1718),
1920),
2122),
2324)
2526),
2728).
2. .確定係數,使下列式子成立
.3. .設, 求.
4. 已知,求及.
5. 求.
6. 設的乙個原函式為,求.
7. 求.
8. 設函式為的原函式,當時,有,且,
,求.9. 設,求.
10. 設是由方程確定的函式,求.
ch5 定積分
1. 求下列定積分的值:
1), 2),
34),
56),
78),
910)
1012),
1314).
1516)
2. 求下列極限:
12),
34) 求,
3. 求下列函式的導數:
12),
34),
56).
4. 試確定,使得為有限值,並求此值.
5. 設一階連續可微, ,試求.
6. 設,試求.
7. 設,求.
8. 設,求.
9. 設,證明:1)是偶函式, 2)在上單調增加.
10. 對一切實數,連續,且.證明
1)為偶函式, 2)在上單調增加.
11. 設在內連續,且,證明:
(1) 若為偶函式,則也為偶函式;(2) 若非增,則非減.
12. 由所確定的函式.試討論其極值點.
13. 求由方程所確定的可導函式的可能極值點,並討論這些點是極大值還是極小值.
14. 設是連續的正值函式,.試證明:曲線在上是下凸的.
15. 設是的連續函式,求.
16. 設是連續函式,求.
17. 求.
18. 設, 求.
19. 求證:.
20. 設且,求.
21. 求.
22. 求連續函式,使得滿足.
23. 設, 求在的值.
24. 設,求.
25. 設,求.
26. 設可導,且,求.
27. 設是以為週期的週期函式,證明:.
28. 設函式在上連續,且,證明:
.29. 求.
30. 求.
31. 求.
32. 求.
33. 求.
34. 求.
35. 求.
36. 設在上連續,且,求.
37. 設在上有二階連續導數,證明:
.38. 設在上有一階連續導數,證明:在內至少有一點,
.39. 設在上有二階連續導數,證明存在,使得
.40. 證明不等式
12),
34),
56),
41. 證明:.
42. 設在上有連續導數,且證明.
43. 設在上連續,在內可微,且,求證:
.44. 設在上是連續增函式,證明:.
45. 設在上可微,單調增加,證明:.
46. 設在上連續可導, 為常數,證明:
.47. 求下列廣義積分:
12),
34),
56),
78).
47.已知,求.
第七章向量代數和空間解析幾何
1. 證明向量與垂直。
2. 已知。問係數為何值時，向量與相互垂直。
3. 設向量，。試確定實數，使，並求向量在上的投影。
4. 設，求。
5. 已知一向量的模為2，且與軸和軸成等角，與軸正向的夾角是它們的兩倍。求該向量。
6. 已知與的夾角為，，若，，求與的夾角。
7. 已知，求與的夾角。
8. 已知三個單位向量、、滿足，求。
9. 已知三角形中，。試將高用、表示。
10. 已知，，向量在、的夾角平分線上，且，求向量的座標表示式。
11. 求平行四邊形的面積，若已知其兩對角線為向量及，而。
12. 已知向量垂直於兩向量和，且與軸正向構成鈍角，。求向量的座標表示式。
13. 已知三個非零向量、、中任意兩個向量不共線，但與、與共線，求。
14. 已知，，，為實變數。求。
15. 求一單位向量，使它與、共面，且滿足。
16. 直線在平面上的投影是，在平面上的投影是，求在平面上的投影方程。
17. 一圓柱面的軸線是：，橫截面圓的半徑為1。求此圓柱面的方程。
18. 試求過點，的直線繞軸旋轉所得的曲面的方程，並求此曲面與平面和所圍立體的體積。
19. 求頂點為，準線為的錐面方程。
20. 求平面與球面相交所得圓的中心點的座標及圓的半徑。
21. 已知橢球面方程為。求過軸且與橢球面的交線為圓的平面方程。
22. 求過點且與直線垂直的平面方程。
23. 試求過點且平行兩直線與的平面方程。
24. 過點作直線平行於平面，且與直線垂直，求直線的方程。
高等數學 數學分析 競賽輔導講稿
2004年11月20日 一 函式 函式是數學分析中的基本概念，主要考察考生對函式的概念及性質的理解和掌握。包括函式的連續性。閉區間上連續函式的性質 有界性 最大值和最小值定理 介值定理 根的存在定理 並會應用這些性質。問題1 試證不存在上的連續函式，使得在無理數集上是一一對映，在有理數集上不是一一對...
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高等數學競賽試題
姓名班級 一 設函式由方程確定，試求 10分 二 若 試確定常數的值。10分 三 10分 四 設一階連續可導，且 0，求證 至少存在乙個，使 10分 五 設利用導數證明 15分 六 設，且，當時，有，試求。15分 七 假設曲線 0 軸和所圍成的平面區域被曲線 分為面積相等的的兩部分，其中是大於零的常...