1.如圖，已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象過a（2，0），b（0，﹣1）和c（4，5）三點．
（1）求二次函式的解析式；
（2）設二次函式的圖象與x軸的另乙個交點為d，求點d的座標；
（3）在同一座標系中畫出直線y=x+1，並寫出當x在什麼範圍內時，一次函式的值大於二次函式的值．
2.直線ab解析式為y=2x+4,c(0,-4),ab交x軸於a，a為拋物線頂點，
（1）求拋物線解析式
（2）將拋物線沿ab平移，此時頂點即為e，如頂點始終在ab上，平以後拋物線交y軸於f，求當△bef於△bao相似時，求e點座標。
（3）記平移後拋物線與直線ab另一交點為g，則s△bfg與s△acd是否存在8倍關係，若有，寫出f 點座標，。
解題思路：
（1） 先求a、b點座標，a（－2，0）b（0，4）
設頂點式y=a(x+2)2 再代入c（0，-4）
可得y=-(x+2)2=-x2-4x-4
(2) 由於頂點在直線ab上，故可假設向右平移m個單位，再向上平移2m個單位、
即解析式為y=-(x+2-m)2+2m 易得e（m-2,2m） f（0,-m2+6m-4）
∵⊿bao∽⊿bfe 則tan∠bfe=tan∠bao=2
∵tan∠bfe=2-m/2m-(-m2+6m-4)=2 化簡得2m2-7m+6=0
解得m1=2(捨去，跟b點重合) m2=3/2
∴e（－1/2,3）
令2x+4=-x2-4x-4, 易得d(-4,-4),
由於g點是由d點平移得來，在第二問的條件下，易得g（-4+m,-4+2m）
∴s⊿acd=8, ∴s⊿bfg=1或64
由第二問可知，2m2-7m+6=0，則m2=3.5m-3 代入得
3. 已知二次函式y=﹣x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過原點，直線ac解析式為y=kx+4，
（1）求二次函式解析式；
（2）若=，求k；
（3）若以bc為直徑的圓經過原點，求k．
（1）由對稱軸為x=﹣，且函式過（0，0），則可推出b，c，進而得函式解析式．
（2）=，且兩三角形為同高不同底的三角形，易得=，考慮計算方便可作b，c對x軸的垂線，進而有b，c橫座標的比為=．由b，c為直線與二次函式的交點，則聯立可求得b，c座標．由上述倍數關係，則k易得．
（3）以bc為直徑的圓經過原點，即∠boc=90°，一般考慮表示邊長，再用勾股定理構造方程求解k．可是這個思路計算量異常複雜，基本不考慮，再考慮（2）的思路，發現b，c橫縱座標恰好可表示出eb，eo，of，oc．而由∠boc=90°，易證△ebo∽△foc，即ebfc=eofo．有此構造方程發現k值大多可約去，進而可得k值．
解答： 解：（1）∵二次函式y=﹣x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過原點，
∴﹣=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=﹣x2+4x．
（2）如圖1，連線ob，oc，過點a作ae⊥y軸於e，過點b作bf⊥y軸於f，
∵=，∴=，
∴=，∵eb∥fc，
∴==．
∵y=kx+4交y=﹣x2+4x於b，c，
∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，
∴△=（k﹣4）2﹣44=k2﹣8k，
∴x=，或x=，
∵xb＜xc，
∴eb=xb=，fc=xc=，
∴4=，
解得 k=9（交點不在y軸右邊，不符題意，捨去）或k=﹣1．
∴k=﹣1．
（3）∵∠boc=90°，
∴∠eob+∠foc=90°，
∵∠eob+∠ebo=90°，
∴∠ebo=∠foc，
∵∠beo=∠ofc=90°，
∴△ebo∽△foc，
∴，∴ebfc=eofo．
∵xb=，xc=，且b、c過y=kx+4，
∴yb=k+4，yc=k+4，
∴eo=yb=k+4，of=﹣yc=﹣k﹣4，
∴=（k+4）（﹣k﹣4），
整理得 16k=﹣20，
∴k=﹣．
4. 如圖，在平面直角座標系中，rt△abc的頂點a，c分別在y軸，x軸上，∠acb=90°，oa=，拋物線y=ax2﹣ax﹣a經過點b（2，），與y軸交於點d．
（1）求拋物線的表示式；
（2）點b關於直線ac的對稱點是否在拋物線上？請說明理由；
（3）延長ba交拋物線於點e，連線ed，試說明ed∥ac的理由．
分析：（1）把點b的座標代入拋物線的表示式即可求得．
（2）通過△aoc∽△cfb求得oc的值，通過△ocd∽△fcb得出dc=cb，∠ocd=∠fcb，然後得出結論．
（3）設直線ab的表示式為y=kx+b，求得與拋物線的交點e的座標，然後通過解三角函式求得結果．
解：（1）把點b的座標代入拋物線的表示式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，
∴拋物線的表示式為y=x2﹣x﹣．
（2）連線cd，過點b作bf⊥x軸於點f，則∠bcf+∠cbf=90°
∵∠acb=90°，∴∠aco+∠bcf=90°，∴∠aco=∠cbf，
∵∠aoc=∠cfb=90°，∴△aoc∽△cfb，∴=，
設oc=m，則cf=2﹣m，則有=，解得m=m=1，∴oc=of=1，
當x=0時y=﹣，∴od=，∴bf=od，
∵∠doc=∠bfc=90°，∴△ocd∽△fcb，∴dc=cb，∠ocd=∠fcb，
∴點b、c、d在同一直線上，
∴點b與點d關於直線ac對稱，
∴點b關於直線ac的對稱點在拋物線上．
（3）過點e作eg⊥y軸於點g，設直線ab的表示式為y=kx+b，則，
解得k=﹣，
∴y=﹣x+，代入拋物線的表示式﹣x+=x2﹣x﹣．
解得x=2或x=﹣2，
當x=﹣2時y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，
∴點e的座標為（﹣2，），∵tan∠edg===，
∴∠edg=30°∵tan∠oac===，∴∠oac=30°，
∴∠oac=∠edg，∴ed∥ac．
5．如圖，拋物線(a，b，c是常數，a≠0)的對稱軸為軸，且經過（0,0）和
（）兩點，點p在該拋物線上運動，以點p為圓心的⊙p總經過定點a（0,2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：在點p運動的過程中，⊙p始終與軸相交；
（3）設⊙p與軸相交於m，n（＜）兩點，當△amn為等腰三角形時，求圓心p的縱座標．
解：（1）
（2）設p(x,y), ⊙p的半徑r=，又，則r=，化簡得：r=＞，∴點p在運動過程中，⊙p始終與軸相交；
（3）設p()，∵pa=，作ph⊥mn於h,則pm=pn=,又ph=,則mh=nh=，故mn=4，∴m(，0)，n(,0)，
又a(0，2)，∴am=,an=
當am=an時，解得=0，
當am=mn時, =4，解得： =，則=；
當an=mn時, =4，解得： =，則=
綜上所述，p的縱座標為0或或；
6.已知拋物線c:經過a(-3，0)和b(0，3)兩點，將拋物線的頂點記為m,它的對稱軸與x軸的交點記為n.
(1)求拋物線c的表示式；
（2）求點m的座標；
（3）將拋物線c平移到拋物線c』，拋物線c』的頂點記為m』、它的對稱軸與x軸的交點記為n』。如果點m、n、m』、n』為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那麼應將拋物線c怎樣平移？為什麼？
7. 如圖，在平面直角座標系中，矩形ocde的三個頂點分別是c（3，0），d（3，4），e（0，4）．點a在de上，以a為頂點的拋物線過點c，且對稱軸x=1交x軸於點b．連線ec，ac．點p，q為動點，設運動時間為t秒．
（1）填空：點a座標為 （1，4） ；拋物線的解析式為 y=﹣（x﹣1）2+4 ．
（2）在圖1中，若點p**段oc上從點o向點c以1個單位/秒的速度運動，同時，點q**段ce上從點c向點e以2個單位/秒的速度運動，當乙個點到達終點時，另乙個點隨之停止運動．當t為何值時，△pcq為直角三角形？
（3）在圖2中，若點p在對稱軸上從點a開始向點b以1個單位/秒的速度運動，過點p做pf⊥ab，交ac於點f，過點f作fg⊥ad於點g，交拋物線於點q，連線aq，cq．當t為何值時，△acq的面積最大？最大值是多少？
8. 如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的乙個交點為a（3，0），與y軸的交點為b（0，3），其頂點為c，對稱軸為x=1．
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