二次函式與幾何結合
二次函式中關於面積問題
常見問題：面積分割為m：n；面積=具體的值；求面積表示式；
一般思路與方法：
①從幾何角度直接找出相應情況求出值；（下稱方法①）
②從代數思維設未知數，用代數式表示，求出值.然後辨析計算結果是否符合要求. （下稱方法②）
例1.如圖所示，二次函式的圖象與軸的乙個交點為，另乙個交點為，且與軸交於點.
（1）求二次函式解析式及b點座標；
（2）該二次函式圖象上有一點（其中，），使，求點座標.
例2.（無錫市2023年中考第24題）如圖，矩形abcd的頂點a、b的座標分別為（-4,0）和（2,0），bc=．設直線ac與直線x=4交於點e．
（1）求以直線x=4為對稱軸，且過c與原點o的拋物線的函式關係式,並說明此拋物線一定過點e；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另乙個交點為n，m是該拋物線上位於c、n之間的一動點，求△cmn面積的最大值．
例3.已知拋物線與它的對稱軸相交於點，與軸交於，與軸正半軸交於．
（1）求這條拋物線的函式關係式；
（2）設直線交軸於是線段上一動點（點異於），過作軸交直線於，過作軸於，求當四邊形的面積等於時點的座標．
例4.如圖，在平面直角座標系中，點p從原點o出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t（t＞0）秒，拋物線y=x2＋bx＋c經過點o和點p.已知矩形abcd的三個頂點為a（1，0）、b（1，－5）、d（4，0）.
⑴求c、b（用含t的代數式表示）；
⑵當4＜t＜5時，設拋物線分別與線段ab、cd交於點m、n.
①在點p的運動過程中，你認為∠amp的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠amp的值；
②求△mpn的面積s與t的函式關係式，並求t為何值時，s=；
③在矩形abcd的內部（不含邊界），把橫、縱座標都是整數的點稱為「好點」.若拋物線將這些「好點」分成數量相等的兩部分，請直接寫出t的取值範圍.
分析：⑴帶入座標即可求解
⑵①隨著時間t變化，易得其tan值等於1.故不發生變法.
②用上述方法②代數式表示面積。
面積表示方法：割補法，原則轉化成學過的圖形且底邊與座標軸重合或平行.如本題：
s△mpn =s四邊形amnp–s△amp
=s△pnd＋s梯amnd–s△amp
如此本題可解.注意：代數法算出的結果要進行取捨.本題有一根要捨去.
③「好點」整點問題最近出現頻率較為頻繁.而且感覺非常棘手。
方法：首先整點問題，必用直尺鉛筆畫網格線，方易解題。特別是初中階段.
本題畫好網格線，通過觀察易得t的取值範圍.7/2＜t＜11/3；也可通過函式值列不等式計算.
二次函式中關於三角形相似
相似作為一種方法自學完之後就是貫穿整個初中知識內容，用途極廣。一般出現的問題是：
①相似存在性問題；②求長度問題、（求周長問題、求面積問題較少考到相似）；③證比例關係.
⑴相似存在性
兩個三角形相似若沒有任何條件約束應有六種對應情況.題目中一般會限制條件，使情況減少.但任需分類討論.
例1、平面直角座標系xoy中，已知a(2,3)，線段ab垂直於y軸，垂足為b，將線段ab繞a逆勢針方向旋轉90°，點b落在點c處，直線bc與x軸交於點d.
⑴試求出點d的座標；
⑵試求出經過a、b、d三點的拋物線的表示式，並寫出其頂點e的座標；
⑶在⑵中所求拋物線的對稱軸上找點f，使得以a、e、f為頂點的三角形與△acd相似；
例2.如圖，已知拋物線的方程c1：y=（x+2）（x-m）（m＞0）與x軸交於點b、c，與y軸交於點e，且點b在點c的右側.
⑴若拋物線c1過點m（2,2），求實數m的值；
⑵在⑴的條件下，求△bce的面積；
⑶在⑴的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點h，使得bh+eh最小，求出點h的座標；
⑷在第四象限內，拋物線c1上是否存在點f，使得以b、c、f為頂點的三角形與△bce相似？若存在，求m的值，若不存在，請說明理由
例3、已知平面直角座標系，畫出直線y=x+1與x軸交於點a，與y軸交於點b，將△aob繞點o順時針旋轉90°，使點a落在點c，點b落在點d，拋物線y=ax+bx+c過點a、d、c，其對稱軸與直線ab交於點p.
⑴求拋物線的表示式；
⑵求∠poc的正切值；
⑶點m在x軸上，且△abm與△apd相似，求點m的座標.
例4.如圖，已知：直線交x軸於點a，交y軸於點b，拋物線y=ax2+bx+c經過a、b、c（1，0）三點.
（1）求拋物線的解析式;
（2）若點d的座標為（-1，0），在直線上有一點p,使δabo與δadp相似，求出點p的座標；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點e，使δade的面積等於四邊形apce的面積？如果存在，請求出點e的座標；如果不存在，請說明理由．
二次函式與等腰三角形
等腰三角形考查
一、三個性質：①腰等；②等角；③三線合一
二、考查用尺規找等腰三角形的方法.
例1、如圖，拋物線y=ax+bx+c經過a（-1,0）、b（3,0）、c（0,3）三點，直線l是拋物線的對稱軸.
⑴求拋物線的函式關係式；
⑵設點p是直線l上的乙個動點，當△pac的周長最小時，求點p的座標；
⑶在直線l上是否存在點m，使△mac為等腰三角形，若存在，直接寫出符合條件的點m的座標；若不存在說明理由.
分析：⑶考查①等腰三角形的性質，②分類討論的應用
若a為頂點，根據其腰等計算；
若c為頂點，根據其腰等計算；
若m為頂點，做ac的的垂直平分線.即可解.
例2、如圖，點a在x軸上，oa=4，將線段oa繞點o順時針旋轉120°至ob的位置.
⑴求點b的座標；
⑵求經過點a、o、b的拋物線的解析式；
⑶在此拋物線的對稱軸上，是否存在點p，使得以點p、o、b為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點p的座標，若不存在，請說明理由.
分析：可用例1分類討論的方法計算解答，但發現結算結果相同。
此題可用方法2尺規作圖，觀察發現只存在乙個點使得其成特殊的等腰三角形等邊三角形。所以只存在一種情況，大大節省了時間.
例3、如圖，直線x＝－4與x軸交於e，一開口向上的拋物線過原點o交線段oe於a，交直線x＝－4於b．過b且平行於x軸的直線與拋物線交於c，直線oc交直線ab於d，且ad:bd＝1:3．
（1）求點a的座標；
（2）若△obc是等腰三角形，求此拋物線的函式關係式．
分析：⑴二次函式的對稱性.相似求a點座標
⑵考查學生分類討論方法的應用，不要遺漏.
.二次函式與直角三角形
直角三角形性質考查
⑴斜邊的中線是斜邊的一半；
⑵30°所對的直角邊是斜邊的一半；（30°的rt△三邊比為1：2：）；
⑶滿足勾股定理；
⑷直徑所對的圓周角是直角.（即這裡有無數個rt△）
另外動點問題解答過程任然需要討論其直角情況.
例1、在平面直角座標系中，反比例函式與二次函式y=k（x+x-1）的影象交於點a（1，k）和b（-1，-k）.
⑴要使反比例函式與二次函式都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件及x的取值範圍；
⑵設二次函式的影象的頂點為q，當△abq是以ab為斜邊的直角三角形時，求k的值.
分析：第⑵問觀察a、b座標關於原點對稱，這樣利於畫出二次函式與反比例函式影象進而解題.
可用勾股定理解答.用斜邊中線是斜邊一般更容易計算解答.
例2、如圖，拋物線y=-x-x+3與x軸交於a、b兩點（a在b左側），與y軸交於點c.
⑴求點a、b的座標；
⑵設d為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△acd的面積等於△acb的面積時，求點d的座標；
⑶若直線l經過點e(4，0)，m為直線l上的動點，當以a、b、m為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式.
分析：本題第⑶學生一般是無從下手。若是能想到利用以ab為直徑畫圓便可找rt△便豁然開朗.也能將次方法記憶深刻.
例3、如圖，正方形oabc的邊長為2，頂點a、c分別在x、y軸上，m是bc的中點.p（0，m）是線段oc上的一動點（c點除外），直線pm交ab的延長線於點d.
⑴求d點的座標（用含m的代數式表示）；
⑵當△apd是等腰三角形時，求m的值；
⑶設過p、m、b三點的拋物線與x軸正半軸交於點e，過點o作直線me的垂線，垂足為h（如圖2）.當點p從o向c運動時，點h也隨之運動，請直接寫出點h所經過的路長.
分析：第⑵問求等腰三角形，注意分類討論多種情況。此外發現用腰等不好計算時，可作輔助線高，利用三線合一此題迎刃而解.
第⑶問發現二次函式影象等都屬於動態變化過程，但oh⊥me保持不變.故△omh為rt△保持不變。故h的軌跡是以om為直徑的圓弧.這樣此題便可解.
二次函式與平行四邊形
1、主要平行四邊形性質：對邊平行且相等；對角線互相平分；因此動點問題中平行四邊形需從邊和對角線兩個方面入手.任需分類討論。
菱形矩形也是一樣。另外菱形矩形還需滿足特殊的性質.
2、另外平行四邊當兩邊不易計算時，也可作兩條高轉化為高的問題，化繁為易。
3、注意：對角線交點座標中點公式超出初中內容。與△相比，平行四邊形往往兩個動點在變化.
例1、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點a(1,0)、b(4,0)、c(-1,-5)，與y軸相交於點d，直線y=kx+m與拋物線相交於b、c兩點，與y軸相交於點e.
⑴求拋物線的解析式（3分）
⑵求tan∠dcb的值.（3分）
⑶若點p在直線bc上，該拋物線上是否存在點q，使得以a、b、p、q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點p的座標，若不存在請說明理由.（4分）
分析：第⑶問分類討論：①以ab為邊；利用對邊相等
②以ab為對角線；利用互相平分，座標差相等.（或中點公式）
注意的是：拋物線上點q的座標大膽設法設乙個字母比較簡單.計算化簡往往都是一元二次方程，常有兩個解，分別找到其對應的意義，判斷取捨.
例2、在平面直角座標系中，已知拋物線 y = -x 2 + 2x + c 過點 a（-1,0）；直線 l： y = - + 3 與 x 軸交於點 b，與 y 軸交於點 c，與拋物線的對稱軸交於點 m；拋物線的頂點為 d.
知識方法及例題二次函式與幾何
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專題3 二次函式與幾何專題練習
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基礎梳理 1 冪函式的定義 一般地，形如y x r 的函式稱為冪函式，其中底數x是自變數，為常數 2 冪函式的圖象 在同一平面直角座標系下，冪函式y x，y x2，y x3，y x，y x 1的圖象分別如右圖 3 冪函式的性質 4.二次函式的圖象和性質 5.二次函式解析式的三種形式 1 一般式 f ...