第一章：集合與簡易邏輯
第一節集合概念與運算
1．集合定義：某些指定的物件集在一起成為集合
（1）集合中的物件稱元素，若a是集合a的元素，記作；
若b不是集合a的元素，記作；
（2）集合中的元素特徵：確定性、互異性和無序性；
（3）表示乙個集合可用列舉法、描述法、圖示法等方法來表示；
（4）常用數集及其記法：
非負整數集（或自然數集），記作n；正整數集，記作；
整數集，記作z；有理數集，記作q；實數集，記作r；
複數集，記作c。
2．集合的包含關係：
（1）集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，則稱a是b的子集（或b包含a），記作a b；
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若ab且b a，則稱a等於b，記作a=b；
若ab且a≠b，則稱a是b的真子集，記作a b；
（2）簡單性質：1）a = a； 2）a； 3）若ab，bc，則ac；
4）若集合a是n個元素的集合，則集合a有個子集，有個真子集，
有個非空真子集。
3．全集與補集：
（1）包含了我們所要研究的各個集合的全體元素構成的集合稱為全集，記作s；
（2）若s是乙個集合，as，則， =稱s中子集a的補集；
4．交集與並集：
（1）一般地，由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集。交集。
（2）一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集。
5．集合的簡單性質：
（1）（2）（3）
4）；第二節簡易邏輯
1、 常見結論的否定形式
2、四種命題的相互關係
3、命題間真假關係
(1)互為逆否的兩個命題真假性相同；
(2)非p與p真假相反；
(3)若p、q命題中有乙個是假的，則「p∧q」為假；
(4)若p、q命題中有乙個是真的，則「p∨q」為真。
4、充要條件
（1）充分條件：若，則是充分條件.
（2）必要條件：若，則是必要條件.
（3）充要條件：若，且，則是充要條件.
5、全稱命題和特稱命題
短語「所有、任何乙個」在陳述中表示陳述事物的全體，邏輯中通常叫全稱量詞，並用符號表示，含有全稱量詞的命題稱為全稱命題
短語「有乙個，一些」在陳述中表示陳述事物的個體或部分，邏輯中通常叫存在量詞，並用符號表示，含有存在量詞的命題稱為特稱命題
全稱命題：，全稱命題的否定：
特稱命題： ，特稱命題的否定：
6、從集合的觀點理解充要條件，有以下一些結論：
若集合，則是的充分條件；
若集合，則是的必要條件；
若集合，則是的充要條件
第二章函式
第一講函式概念及表示
一、 函式的概念
1、對映：設a、b是兩個集合，如果按照某種對應關係f，對於集合a中的每乙個元素，在集合b中都有唯一元素和它對應，這樣的對應叫做集合a到集合b的對映，記作f:a→b.
2、函式的定義：設a、b都是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一的數f(x)和它對應，那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式，記作y=f(x),x∈a,其中x叫自變數，x的取值範圍a叫做函式f(x)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式f（x）的值域，顯然，值域是集合b的子集。
1、 構成函式的三要素是：定義域、值域、對應關係。
2、 函式的表示法：解析法、列表法、影象法。
二、常見基本函式的定義域：
①分式函式，分母不等於零；
②偶次根式函式，被開方數；
③零指數與負指數函式中的底數；
④指數函式
⑤對數函式中真數》0
⑥正切函式y=tanx的定義域，
三、常見函式的值域
1、二次函式的值域：
2、反比例函式的值域：
3、指數函式的值域：
4、 對數函式的值域:
5、 三角函式：y=sinx；y=cosx的值域：
6、y=tanx的值域：
第二講函式性質
一、單調性
1．定義：如果函式對於屬於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值，當時，①都有，則稱在這個區間上是增函式，而這個區間稱
為函式的乙個單調遞增區間 ；
②都有，則稱在這個區間上是減函式，而這個區間稱
為函式的乙個單調遞減區間.
若函式f(x)在整個定義域內只有唯一的乙個單調區間，則稱為單調函式.
2．判斷單調性的方法：
(1) 定義法(2) 導數法
3、單調性的有關結論
①．在公共定義域內
增函式+增函式=_增函式；減函式+減函式=減函式；
增函式-減函式=_增函式；減函式-增函式=減函式；
②．若為增(減)函式，則為減（增）函式；
③．復合函式是定義在上的函式，
若與的單調相同，則為增函式，
若,的單調性相反，則為減函式.
④．奇函式在其對稱區間上的單調性相同 ，
偶函式在其對稱區間上的單調性相反 .
二、函式的奇偶性
1、定義
2、性質
①偶函式影象關於稱，奇函式影象關於原點對稱
②若函式為奇函式，且在處有定義，則f(0)=0．
③奇（偶）函式奇（偶）函式=奇（偶）函式；
奇（偶）函式奇（偶）函式=偶（奇）函式；
奇（偶）函式偶（奇）函式=奇（偶）函式；
④奇函式在軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函式在軸兩側相對稱的區間增減性相反．
三、函式的週期性
1、定義：對於定義域內的每乙個，都存在非零常數，使得恆成立，則稱函式具有週期性，叫做的乙個週期，則（）也是的週期，所有週期中的最小正數叫的最小正週期。
2、常見函式週期
①y=sinx，最小正週期；
②y=cosx，最小正週期；
③y=tanx，最小正週期；
④函式y=asin(x+)和y=acos(x+)的最小正週期為；
⑤y=atan(x+)最小正週期為
3、幾種特殊的抽象函式的週期：
設是非零常數，若對函式定義域中任意，恒有下列條件之一成立；
(1) (2) (3)
(4)(5)(6)則是週期函式，是它的乙個週期。
四、影象的變換
1、平移變換
2、伸縮變換
3、對稱變換
4、翻摺變換
第三講：常見函式
一、二次函式
1、二次函式解析式的三種形式
①一般式： ②頂點式：
③兩根式：
2、二次函式圖象的性質
①二次函式的圖象是一條拋物線，
對稱軸方程為頂點座標是．
②當時，拋物線開口向上，函式在上遞減，
在上遞增，當時，；
當時，拋物線開口向下，函式在上遞增，
在上遞減，當時，．
③二次函式當時，圖象與軸有兩個交點．
圖象與y軸交點為（0，c）
6、 實係數方程
兩實根異號的充要條件為；
有兩正根的充要條件為；
有兩負根的充要條件為．
5、「的解集為r」的充要條件：
或6、「的解集為r」的充要條件：
或7、 二次函式與一元二次不等式
二、根式與指數式
1、根式：
(1) 定義：若 ，則稱為的次方根
① 當為奇數時， 次方根記作；
② 當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記作
(2) 性質
② 當為奇數時，；
③ 當為偶數時， ＝
2、．指數：
(1) 規定：
①(a≠0) ②；③
(2) 運算性質：(a>0, r、q)
①②③注：上述性質對r、r均適用.
3、指數函式：
三、對數與對數函式
1．對數：
（1）對數的定義
①若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數．
②負數和零沒有對數．
③對數式與指數式的互化：．
（2）幾個重要的對數恒等式 ，，．
（3）常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）．
（4）對數的運算性質如果，那麼
①加法： ②減法：
③數乘： ④
⑤ ⑥換底公式：
2．對數函式：
三、冪函式
（1）冪函式的定義
一般地，函式叫做冪函式，
其中為自變數，是常數
（2）冪函式的性質
① 過定點：所有的冪函式在都有定義，
並且圖象都通過點
②單調性：如果，則冪函式的圖象過
原點，並且在上為增函式．
如果，則冪函式的圖象在上
為減函式，在第一象限內，圖象無限接近軸
與軸．第四講、函式方程與零點（二分法）
1、函式零點的概念：對於函式，把使成立的實數叫做函式的零點。
2、函式零點的意義：函式的零點就是方程實數根，亦即函式的圖象與軸交點的橫座標。
即：方程有實數根
函式的圖象與軸有交點
函式有零點
3、二次函式零點的判定
二次函式的零點個數，方程的實根個數見下表.
4、函式零點的求法：
求函式的零點：
①（代數法）求方程的實數根；
②（幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函式的圖象聯絡起來，並利用函式的性質找出零點．
③（二分法）如果函式在乙個區間上的圖象不間斷，並且在它的兩個端點處的函式值異號，即，則這個函式在這個區間上，至少有乙個零點，即存在一點，使.
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集合函式知識點全面總結相應試題教師版洪銳
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