集合一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互異性如：由happy的字母組成的集合
(3) 元素的無序性: 如：和是表示同乙個集合
3．元素與集合的關係——（不）屬於關係
（1）集合用大寫的拉丁字母a、b、c…表示
元素用小寫的拉丁字母a、b、c…表示
（2）若a是集合a的元素，就說a屬於集合a,記作a∈a;
若不是集合a的元素，就說a不屬於集合a,記作aa;
4.集合的表示方法：列舉法與描述法。
（1）列舉法：將集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內表示集合的方法
格式：適用：一般元素較少的有限集合用列舉法表示
（2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。
格式：例如： 或
適用：一般元素較多的有限集合或無限集合用描述法表示
◆ 注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：n=
正整數集 n*或 n+ =
整數集z
有理數集q
實數集r
有時，集合還用語言描述法和venn圖法表示
例如：語言描述法：
venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集含有有限個元素的集合
(2) 無限集含有無限個元素的集合
(3) 空集不含任何元素的集合例： b= 「元素相同則兩集合相等」
3.真子集:如果ab,且存在元素x∈b,但xa,那麼就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
4.性質
① 任何乙個集合是它本身的子集。aa
②如果 ab, bc ,那麼 ac
③ 如果ab 同時 ba 那麼a=b
5. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
◆ 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
1.1集合的含義與表示
1.1.1集合的含義：
我們一般把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集。通常用大寫字母a、b、c等表示集合，用小寫字母a、b、c等表示元素，元素與集合之間的關係是屬於和不屬於。元素a屬於集合a，記做a∈a，反之，元素a不屬於集合a，記做aa。
1.1.2集合中的元素的特徵：
①確定性：如世界上最高的山；
②互異性：由happy的字母組成的集合；
③無序性：如集合和集合是同乙個集合。
1.1.3集合的表示方法：①列舉法；②描述法；③venn圖；④用數軸表示集合。
1.1.4集合的分類：
①根據集合中元素的個數可分為有限集、無限集和空集。
②根據集合中元素的屬性可分為數集、點集、序數對等。
本節精講：
一. 如何判斷一些物件是否組成乙個集合：判斷一組物件能否組成集合，主要是要看這組物件是否是確定的，即對任何乙個物件，要麼在這組之中，要麼不在，二者必居其一，如果這組物件是確定的，那麼，這組物件就能夠組成乙個集合。
例：看下面幾個例子，判斷每個例子中的物件能否組成乙個集合。
（1）大於等於1，且小於等於100的所有整數；
（2）方程x2=4的實數根；
（3）平面內所有的直角三角形；
（4）正方形的全體；
（5）∏的近似值的全體；
（6）平面集合中所有的難證明的題；
（7）著名的數學家；
（8）平面直角座標系中x軸上方的所有點。
練習：考察下列各組物件能否組成乙個集合，若能組成集合，請指出集合中的元素，若不能，請說明理由：
（1） 平面直角座標系內x軸上方的一些點；
（2） 平面直角座標系內以原點為圓心，以1為半徑的園內的所有的點；
（3） 一元二次方程x2+bx-1=0的根；
（4） 平面內兩邊之和小於第三邊的三角形
（5） y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；
（6） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；
（7） 新華書店中有意思的**全體。
二．有關元素與集合的關係的問題：確定元素與集合之間的關係，即元素是否在集合中，還要看元素的屬性是否與集合中元素的屬性相同。
例：集合a=,集合b=,(a、b中x∈r,y∈r)選項中元素與集合之間的關係都正確的是（ ）
a、2∈a，且2∈bb、（1,2）∈a，且（1,2）∈b
c、2∈a，且（3,10）∈b d、（3,10）∈a，且2∈b
解：c練習：
3.1415 q； ∏ q； 0 r+； 1 ； -8 z；
三．有關集合中元素的性質的問題：集合中的元素有三個性質:分別是①確定性②互異性③無序性
例：集合a是由元素n2-n，n-1和1組成的，其中n∈z，求n的取值範圍。
解：n是不等於1且不等於2的整數。
練習:1. 已知集合m=,n=,a≠0,且m與n中的元素完全相同，求d和q的值。
2. 已知集合a=,b=，若a=b，則x2009+y2010的值為 ，a=b= .
3. (1)若-3∈求實數a的值； (2)若∈,求實數m的值。
4.已知集合m=,n=，且m=n,求a,b的值。
5.已知集合a=，(1)若a中只有乙個元素，求a的值； (2)若a中至多有乙個元素，求a的取值範圍。
四．集合的表示法：三種表示方法
練習；1. 用列舉法表示下列集合。
（1） 方程 x2+y2=2d的解集為 ；
x-y=0
（2）集合a=用列舉法表示為 ；
（3）集合b=用列舉法表示為 ；
（4）集合c=用列舉法表示為 ；
2.用描述法表示下列集合。
（1）大於2的整數a的集合；
（2）使函式y=有意義的實數x的集合；
（3）3.用venn圖法表示下列集合及他們之間的關係：
（1）a=，b=，c=，d=，e=,f=；
（2）某班共30人，其中15人喜歡籃球，10人喜歡兵乓球，8人對這兩項運動都不喜歡，則喜歡籃球但不喜歡桌球的人數為 ，用venn圖表示為： 。
五．有關集合的分類：
六．集合概念的綜合問題：
練習1. 若，則t的值為
2. 設集合a=,b=,試求當引數a=2時的集合a和b；
3. 已知集合a=,求（1）若集合a為空集，則a的取值範圍；（2）若集合a中只有乙個元素，求a的值，並寫出集合a；（3）若集合a中至少有乙個元素，則a的取值範圍。
1.2集合間的基本關係
1.2.1子集：
一般地，兩個集合a和b，如果集合a中的任意乙個元素都是集合b中的元素，我們就說這兩個集合有包含關係，稱集合a為集合b的子集，記做ab（或ba）,讀作「a包含於b」（或「b包含a」） 。比如說，集合a=，集合b=，那麼，集合a中的元素1、2、3都屬於集合b，所以，集合a為集合b的子集，記做ab（或ba）。
1.2.2集合相等：如果集合ab且ba時，集合a中的元素與集合b中的元素是一樣的，因此，集合a與集合b相等，記做a=b。或ab。
1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合a是集合b的真子集。記作：ab（或ba） 也可記作：（或）
1.2.4空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記做，並規定：空集是任何非空集合的子集（當然是真子集）
本節精講：
一． 集合間的包含與相等的問題:對於集合相等，我們要從以下三個方面入手：
1 若集合ab且ba時，則a=b；反之，如果a=b，則集合ab且ba。這就給出了我們證明兩個集合相等的方法，即欲要證明a=b，只需要證明ab和ba都成立就行了。
2 兩個集合相等，則所含元素完全相同，與集合中元素的順序無關。
3 要判斷兩個集合是否相等，對於元素較少的有限集合，可以用列舉法將元素列舉出來，看看兩個集合中的元素是否完全相同；若是無限集合，則因從「互為子集」兩個方面入手。
例：若集合，，且滿足，求實數的取值範圍.
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