餘數問題是數論知識板塊中另乙個內容豐富，題目難度較大的知識體系，也是各大盃賽小公升初考試必考的奧數知識點，所以學好本講對於學生來說非常重要。
許多孩子都接觸過餘數的有關問題，並有不少孩子說「遇到餘數的問題就基本暈菜了！」
餘數問題主要包括了帶餘除法的定義，三大餘數定理（加法餘數定理，乘法餘數定理，和同餘定理），及中國剩餘定理和有關棄九法原理的應用。
一、帶餘除法的定義及性質
一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為乙個帶餘除法算式。這裡：
(1)當時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商
(2)當時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商
乙個完美的帶餘除法講解模型:
如圖這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數，現在要求按照b本一捆打包，那麼b就是除數的角色，經過打包後共打包了c捆，那麼這個c就是商，最後還剩餘d本，這個d就是餘數。
這個圖能夠讓學生清晰的明白帶餘除法算式中4個量的關係。並且可以看出餘數一定要比除數小。
二、三大餘數定理：
1.餘數的加法定理
a與b的和除以c的餘數，等於a,b分別除以c的餘數之和，或這個和除以c的餘數。
例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以23+16=39除以5的餘數等
於4，即兩個餘數的和3+1.
當餘數的和比除數大時，所求的餘數等於餘數之和再除以c的餘數。
例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以23+19=42除以5的餘數等於3+4=7除以5的餘數，即2.
2.餘數的乘法定理
a與b的乘積除以c的餘數，等於a,b分別除以c的餘數的積，或者這個積除以c所得的餘數。
例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以23×16除以5的餘數等於3×1=3。
當餘數的和比除數大時，所求的餘數等於餘數之積再除以c的餘數。
例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以23×19除以5的餘數等於3×4除以5的餘數，即2.
3.同餘定理
若兩個整數a、b被自然數m除有相同的餘數，那麼稱a、b對於模m同餘，用式子表示為：a≡b ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。
同余式讀作：a同余於b，模m。由同餘的性質，我們可以得到乙個非常重要的推論：
若兩個數a，b除以同乙個數m得到的餘數相同，則a，b的差一定能被m整除
用式子表示為：如果有a≡b ( mod m )，那麼一定有a－b＝mk,k是整數，即m|(a－b)
三、棄九法原理
在西元前9世紀，有個印度數學家名叫花拉子公尺，寫有一本《花拉子公尺算術》，他們在計算時通常是在乙個鋪有沙子的土板上進行，由於害怕以前的計算結果丟失而經常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的：
例如：檢驗算式
1234除以9的餘數為1
1898除以9的餘數為8
18922除以9的餘數為4
678967除以9的餘數為7
178902除以9的餘數為0
這些餘數的和除以9的餘數為2
而等式右邊和除以9的餘數為3，那麼上面這個算式一定是錯的。
上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的餘數的加法定理，即如果這個等式是正確的，那麼左邊幾個加數除以9的餘數的和再除以9的餘數一定與等式右邊和除以9的餘數相同。
而我們在求乙個自然數除以9所得的餘數時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數的各個位數字之和除以9的餘數就可以了，在算的時候往往就是乙個9乙個9的找並且劃去，所以這種方法被稱作「棄九法」。
所以我們總結出棄九發原理：任何乙個整數模9同余於它的各數字上數字之和。
以後我們求乙個整數被9除的餘數，只要先計算這個整數各數字上數字之和，再求這個和被9除的餘數即可。
利用十進位制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數相加，對於檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對同樣適用
注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。
例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的餘數都是0，但是顯然算式是錯誤的
但是反過來，如果乙個算式一定是正確的，那麼它的等式2兩端一定滿足棄九法的規律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較複雜的算式迷問題。
四、中國剩餘定理
1.中國古代趣題
中國數學名著《孫子算經》裡有這樣的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」答曰：「二十三。」
此類問題我們可以稱為「物不知其數」型別，又被稱為「韓信點兵」。
韓信點兵又稱為中國剩餘定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。劉邦茫然而不知其數。
我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（chinese remainder theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法
對於這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經》中的問題為例，分析此方法:
今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？
題目中我們可以知道，乙個自然數分別除以3，5，7後，得到三個餘數分別為2，3，2.那麼我們首先構造乙個數字，使得這個數字除以3餘1，並且還是5和7的公倍數。
先由，即5和7的最小公倍數出發，先看35除以3餘2，不符合要求，那麼就繼續看5和7的「下乙個」倍數是否可以，很顯然70除以3餘1
類似的，我們再構造乙個除以5餘1，同時又是3和7的公倍數的數字，顯然21可以符合要求。
最後再構造除以7餘1，同時又是3，5公倍數的數字，45符合要求，那麼所求的自然數可以這樣計算：
，其中k是從1開始的自然數。
也就是說滿足上述關係的數有無窮多，如果根據實際情況對數的範圍加以限制，那麼我們就能找到所求的數。
例如對上面的問題加上限制條件「滿足上面條件最小的自然數」，
那麼我們可以計算得到所求
如果加上限制條件「滿足上面條件最小的三位自然數」,
我們只要對最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
模組一、帶餘除法的定義和性質
【例 1】 (第五屆小學數學報競賽決賽)用某自然數去除，得到商是46，餘數是，求和．
【解析】 因為是的倍還多,得到，得，所以，．
【鞏固】 除以乙個兩位數，餘數是．求出符合條件的所有的兩位數．
【解析】 ，，那麼符合條件的所有的兩位數有，因為「餘數小於除數」,所以捨去，答案只有。
【鞏固】 (清華附中小公升初分班考試)甲、乙兩數的和是，甲數除以乙數商餘，求甲、乙兩數．
【解析】 (法1)因為甲乙，所以甲乙乙乙乙；
則乙，甲乙．
(法2)將餘數先去掉變成整除性問題，利用倍數關係來做：從中減掉以後，就應當是乙數的倍，所以得到乙數，甲數．
【鞏固】 乙個兩位數除310，餘數是37，求這樣的兩位數。
【解析】 本題為餘數問題的基礎題型，需要學生明白乙個重要知識點，就是把餘數問題---即「不整除問題」轉化為整除問題。方法為用被除數減去餘數，即得到乙個除數的倍數；或者是用被除數加上乙個「除數與餘數的差」，也可以得到乙個除數的倍數。
本題中310-37=273，說明273是所求餘數的倍數，而273=3×7×13，所求的兩位數約數還要滿足比37大，符合條件的有39，91.
【例 2】 (年全國小學數學奧林匹克試題)有兩個自然數相除，商是，餘數是，已知被除數、除數、商與餘數之和為，則被除數是多少？
【解析】 被除數除數商餘數被除數除數+17+13=2113，所以被除數除數=2083，由於被除數是除數的17倍還多13，則由「和倍問題」可得：除數=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除數=2083-115=1968．
【鞏固】 (2023年全國小學數學奧林匹克試題)兩數相除，商4餘8，被除數、除數、商數、餘數四數之和等於415，則被除數是_______．
【解析】 因為被除數減去8後是除數的4倍，所以根據和倍問題可知，除數為，所以，被除數為。
【鞏固】 用乙個自然數去除另乙個自然數，商為40，餘數是16.被除數、除數、商、餘數的和是933，求這2個自然數各是多少？
【解析】 本題為帶餘除法定義式的基本題型。根據題意設兩個自然數分別為x,y，可以得到
,解方程組得，即這兩個自然數分別是856，21.
【例 3】 (2023年「祖沖之杯」小學數學邀請賽試題)三個不同的自然數的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的餘數也相同，這三個數是
【解析】 設所得的商為，除數為．，，由，可求得，．所以，這三個數分別是，，。
【鞏固】 (2023年福州市「迎春杯」小學數學競賽試題)乙個自然數，除以11時所得到的商和餘數是相等的，除以9時所得到的商是餘數的3倍，這個自然數是
【解析】 設這個自然數除以11餘，除以9餘，則有，即，只有，，所以這個自然數為。
【例 4】 (2023年我愛數學少年數學夏令營試題)有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那麼每人4本，有剩餘；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那麼每人3本，有剩餘；每人4本，書不夠．問：第二組有多少人?
【解析】 由，知，一組是10或11人．同理可知，知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人．
【鞏固】 乙個兩位數除以13的商是6，除以11所得的餘數是6，求這個兩位數．
【解析】 因為乙個兩位數除以13的商是6，所以這個兩位數一定大於，並且小於；又因為這個兩位數除以11餘6，而78除以11餘1，這個兩位數為．
模組二、三大餘數定理的應用
【例 5】 有乙個大於1的整數，除所得的餘數相同，求這個數.
1【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數除以這個數的餘數分別是多少，但是由於所得的餘數相同，根據同餘定理，我們可以得到：這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數．，，，的約數有，所以這個數可能為。
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