研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規則圖形，通過變**形的位置或對圖形進行分割、旋轉、拼補，使它變成可以計算出面積的規則圖形來計算它們的面積．
圓的面積；扇形的面積；
圓的周長；扇形的弧長．
一、 跟曲線有關的圖形元素：
①扇形：
扇形的面積所在圓的面積；
扇形中的弧長部分所在圓的周長
扇形的周長所在圓的周長2半徑(易錯點是把扇形的周長等同於扇形的弧長)
②弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積．
一般來說，弓形面積扇形面積-三角形面積．(除了半圓)
③」彎角」：如圖： 彎角的面積正方形-扇形
④」穀子」：如圖： 「穀子」的面積弓形面積
二、 常用的思想方法：
①轉化思想(複雜轉化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的)
②等積變形(割補、平移、旋轉等)
③借來還去(加減法)
板塊一平移、旋轉、割補、對稱在曲線型面積中的應用
【例 1】 下圖中每乙個小正方形的面積是1平方厘公尺，那麼格線部分的面積是多少平方厘公尺？
【解析】 割補法．如右圖，格線部分的面積是36平方厘公尺．
【鞏固】下圖中每乙個小正方形的面積是1平方厘公尺，那麼格線部分的面積是多少平方厘公尺？
【解析】 割補法．如右圖，格線部分的面積是36平方厘公尺．
【例 2】 如圖，在188的方格紙上，畫有1，9，9，8四個數字．那麼，圖中的陰影面積佔整個方格紙面積的幾分之幾？
【解析】 我們數出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654個，其中部分有6+6+820個，部分有6+6+820(個)，而1個和1個正好組成乙個完整的小正方形，所以陰影部分共包含54+2074(個)完整小正方形，而整個方格紙包含818144(個)完整小正方形．所以圖中陰影面積佔整個方格紙面積的，即．
【鞏固】在4×7的方格紙板上面有如陰影所示的」6」字，陰影邊緣是線段或圓弧．問陰影面積佔紙板面積的幾分之幾？
【解析】 矩形紙板共28個小正方格，其中弧線都是圓周，非陰影部分有3個完整的小正方形，其餘部分可拼成6個小正方格．因此陰影部分共28－6－3=19個小正方格．所以，陰影面積佔紙板面積的．
【例 3】 (2023年西城實驗考題)在乙個邊長為2厘公尺的正方形內，分別以它的三條邊為直徑向內作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為平方厘公尺．
【解析】 採用割補法．如果將陰影半圓中的2個弓形移到下面的等腰直角三角形中，那麼就形成兩個相同的等腰直角三角形，所以陰影部分的面積等於兩個等腰直角三角形的面積和，即正方形面積的一半，所以陰影部分的面積等於平方厘公尺．
【鞏固】如圖，在乙個邊長為4的正方形內，以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓．求陰影部分的面積．
【解析】 陰影部分經過切割平移變成了乙個面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為．
【例 4】 (人大附中分班考試題)如圖，正方形邊長為1，正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影部分面積．(取)
【解析】 把中間正方形裡面的4個小陰影向外平移，得到如右圖所示的圖形，可見，陰影部分的面積等於四個正方形面積與四個的扇形的面積之和，所以，
．【例 5】 圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心．如果每個圓的半徑都是1厘公尺，那麼陰影部分的總面積是多少平方厘公尺？
【解析】 如下圖所示：
可以將每個圓內的陰影部分拼成乙個正方形，每個正方形的面積為（平方厘公尺），所以陰影部分的總面積為（平方厘公尺）．
【鞏固】如圖所示，四個全等的圓每個半徑均為2m，陰影部分的面積是
或【解析】 我們雖沒有學過圓或者圓弧的面積公式，但做一定的割補後我們發現其實我們並不需要知道這些公式也可以求出陰影部分面積．如圖，割補後陰影部分的面積與正方形的面積相等，等於．
【例 6】 如右圖，有8個半徑為1厘公尺的小圓，用它們的圓周的一部分連成乙個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心．則花瓣圖形的面積是多少平方厘公尺？ (取3)
【解析】 本題直接計算不方便，可以利用分割移動湊成規則圖形來求解．
如右上圖，連線頂角上的4個圓心，可得到乙個邊長為4的正方形．可以看出，與原圖相比，正方形的每一條邊上都多了乙個半圓，所以可以把原花瓣圖形的每個角上分割出乙個半圓來補在這些地方，這樣得到乙個正方形，還剩下4個圓，合起來恰好是乙個圓，所以花瓣圖形的面積為(平方厘公尺)．
【總結】在求不規則圖形的面積時，我們一般要對原圖進行切割、移動、補齊，使原圖變成乙個規則的圖形，從而利用面積公式進行求解．這個切割、移動、補齊的過程實際上是整個解題過程的關鍵，我們需要多多練習，這樣才能快速找到切割拼補的方法、
【例 7】 如圖中三個圓的半徑都是5，三個圓兩兩相交於圓心．求陰影部分的面積和．(圓周率取)
【解析】 將原圖割補成如圖，陰影部分正好是乙個半圓，面積為
【鞏固】如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那麼這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取)
【解析】 如圖新增輔助線，小圓內部的陰影部分可以填到外側來，這樣，空白部分就是乙個圓的內接正方形．設大圓半徑為，則，，所以．
移**形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關係．
【例 8】 計算圖中陰影部分的面積(單位：分公尺)．
【解析】 將右邊的扇形向左平移，如圖所示．兩個陰影部分拼成—個直角梯形．
(平方分公尺)．
【鞏固】如圖，陰影部分的面積是多少？
【解析】 首先觀察陰影部分，我們發現陰影部分形如乙個號角，但是我們並沒有學習過如何求號角的面積，那麼我們要怎麼辦呢？陰影部分我們找不到出路，那麼我們不妨考慮下除了陰影部分之外的部分吧！觀察發現，陰影部分左側是乙個扇形，而陰影部分右邊的空白部分恰好與左邊的扇形構成乙個邊長為4的正方形，那麼陰影部分的面積就等於大的矩形面積減去正方形面積．則陰影部分面積
【例 9】 請計算圖中陰影部分的面積．
【解析】 法一：
為了求得陰影部分的面積，可以從下圖的整體面積中扣掉乙個圓的面積，就是要求的面積了．
要扣掉圓的面積，如果按照下圖把圓切成兩半後，從兩端去扣掉也是一樣．如此一來，就會出現乙個長方形的面積．
因此，所求的面積為．
法二：由於原來的月牙形很難直接計算，我們可以嘗試構造下面的輔助圖形：
如左上圖所示，我們也可以這樣來思考，讓圖形往右側平移就會得到右上圖中的組合圖形，而這個組合圖形中右端的月牙形正是我們要求的面積．
顯然圖中右側延伸出了多少面積，左側就會縮排多少面積．
因此，所求的面積是．
【例 10】 求圖中陰影部分的面積．
【解析】 如圖，連線，可知陰影部分的面積與三角形的面積相等，即為．
【例 11】 求如圖中陰影部分的面積．(圓周率取)
【解析】 可將左下橄欖型的陰影部分剖開，兩部分分別順逆時針，則陰影部分轉化為四分之一圓減去乙個等腰直角三角形，所以陰影部分的面積為．
【鞏固】如圖，四分之一大圓的半徑為7，求陰影部分的面積，其中圓周率取近似值．
【解析】 原題圖中的左邊部分可以割補至如右上圖位置，這樣只用先求出四分之一大圓的面積，再減去其內的等腰直角三角形面積即為所求．因為四分之一大圓的半徑為7，所以其面積為：
．四分之一大圓內的等腰直角三角形的面積為，所以陰影部分的面積為．
【例 12】 求下列各圖中陰影部分的面積．
【解析】 在圖(1)中，陰影部分經過切割平移變成了乙個底為10，高為5的三角形，利用三角形面積公式可以求得；
在圖(2)中，陰影部分經過切割平移變成了乙個長為b，寬為a的長方形，利用長方形面積公式可以求得．
【鞏固】求下列各圖中陰影部分的面積(圖中長度單位為，圓周率按3計算)：
⑴ ⑵
⑶⑷【解析
【例 13】 如圖，是正方形，且，求陰影部分的面積．(取)
【解析】 方法一：兩個分割開的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那麼我們把它們通過切割、移動、補齊，使兩塊陰影部分連線在一起，這個時候我們再來考慮，可能會有新的發現． 由於對稱性，我們可以發現，弓形bmf的面積和弓形bnd的面積是相等的，因此，陰影部分面積就等於不規則圖形bdwc的面積．因為abcd是正方形，且faadde1，則有cdde．那麼四邊形bdec為平行四邊形，且∠e45°．我們再在平行四邊形bdec中來討論，可以發現不規則圖形bdwc和扇形wde共同構成這個平行四邊形，由此，我們可以知道陰影部分面積平行四邊形bdec-扇形dew．
方法二：先看總的面積為的圓，加上乙個正方形，加上乙個等腰直角三角形，在則陰影面積為總面積扣除乙個等腰直角三角形，乙個圓，乙個的扇形．那麼最終效果等於乙個正方形扣除乙個的扇形．面積為．
【鞏固】求圖中陰影部分的面積(單位：)．
【解析】 從圖中可以看出，兩部分陰影的面積之和恰好是梯形的面積，
所以陰影部分面積為．
【例 14】 如圖，長方形的長是，則陰影部分的面積是
【解析】 陰影部分的面積實際上是右上圖陰影部分面積的一半，所以求出右上圖中陰影部分面積再除以2即可．
長方形的長等於兩個圓直徑，寬等於1個圓直徑，所以右圖的陰影部分的面積等於：
所以左圖陰影部分的面積等於平方厘公尺．
【例 15】 (2023年西城實驗期末考試題)如圖所示，在半徑為的圖中有兩條互相垂直的線段，陰影部分面積與其它部分面積之差(大減小)是 ．
【解析】 如圖，將圓對稱分割後，與中的部分區域能對應，僅比少了一塊矩形，所以兩部分的面積差為：．
【鞏固】一塊圓形稀有金屬板平分給甲、乙二人．但此金屬板事先已被兩條互相垂直的弦切割成如圖所示尺寸的四塊．現甲取②、③兩塊，乙取①、④兩塊．如果這種金屬板每平方厘公尺價值1000元，問：甲應償付給乙多少元？
【解析】 如右上圖所示，④的面積與ⅰ的面積相等，①的面積等於②與ⅱ的面積之和．可見甲比乙多拿的部分為中間的長方形，所以甲比乙多拿的面積為：，而原本應是兩人平分，所以甲應付給乙： (元)．
【例 16】 求右圖中陰影部分的面積．(取3)
【解析】 看到這道題，一下就會知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過作差來求出陰影部分面積，因為陰影部分非常不規則，無法入手．
這樣，平移和旋轉就成了我們首選的方法．
(法1)我們只用將兩個半徑為10厘公尺的四分之一圓減去空白的①、②部分面積之和即可，其中①、②面積相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊ab的長度未知．單獨求①部分面積不易，於是我們將①、②部分平移至一起，如右下圖所示，則①、②部分變為乙個以ac為直角邊的等腰直角三角形，而ac為四分之一圓的半徑，所以有ac10．兩個四分之一圓的面積和為150，而①、②部分的面積和為，所以陰影部分的面積為(平方厘公尺)．
第5講 圓與扇形競賽123班 教師版
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