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圓與扇形
一、考點、熱點回顧
五年級已經學習過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關問題，這一講學習與圓有關的周長、面積等問題。
圓的周長、面積計算公式：
或半圓的周長、面積計算公式：
扇形的周長、面積：
如無特殊說明，圓周率都取π=3.14。
二、典型例題：
例1、如下圖所示，200公尺賽跑的起點和終點都在直跑道上，中間的彎道是乙個半圓。已知每條跑道寬1.22公尺，那麼外道的起點在內道起點前面多少公尺？（精確到0.01公尺）
分析與解：半徑越大，周長越長，所以外道的彎道比內道的彎道長，要保證內、外道的人跑的距離相等，外道的起點就要向前移，移的距離等於外道彎道與內道彎道的長度差。雖然彎道的各個半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等於一條跑道之寬。
設外彎道中心線的半徑為r，內彎道中心線的半徑為r，則兩個彎道的長度之差為
πr-πr＝π（r-r）＝3.14×1.22≈3.83（公尺）。
即外道的起點在內道起點前面3.83公尺。
例2、 有七根直徑5厘公尺的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時橡皮筋的長度是多少厘公尺？
分析與解：由右上圖知，繩長等於6個線段ab與6個bc弧長之和。將圖中與bc弧類似的6個弧所對的圓心角平移拼補，得到6個角的和是360°，所以bc弧所對的圓心角是60°，6個bc弧等於直徑5厘公尺的圓的周長。
而線段ab等於塑料管的直徑，由此知繩長=5×6＋5×3.14＝45.7（厘公尺）。
例3 、左下圖中四個圓的半徑都是5厘公尺，求陰影部分的面積。
分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計算。容易看出，正方形中的空白部分是4個四分之一圓，利用五年級學過的割補法，可以得到右上圖。
右上圖的陰影部分的面積與原圖相同，等於乙個正方形與4個半圓（即2個圓）的面積之和，為（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘公尺2）。
例4 、草場上有乙個長20公尺、寬10公尺的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30公尺的繩子拴著乙隻羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動的範圍有多大？
分析與解：如右上圖所示，羊活動的範圍可以分為a，b，c三部分，
所以羊活動的範圍是
例5、 右圖中陰影部分的面積是2.28厘公尺2，求扇形的半徑。
分析與解：陰影部分是扇形與等腰直角三角形相差的部分。
所以，扇形的半徑是4厘公尺。
例6、 右圖中的圓是以o為圓心、徑是10厘公尺的圓，求陰影部分的面積。
分析與解：解此題的基本思路是：
從這個基本思路可以看出：要想得到陰影部分s1 的面積，就必須想辦法求出s2和s3的面積。
s3的面積又要用下圖的基本思路求：
現在就可以求出s3的面積，進而求出陰影部分的面積了。
s3=s4-s5=50π-100（厘公尺2），
s1=s2-s3=50π-（50π-100）=100（厘公尺2）。
三、習題鞏固
1、直角三角形abc放在一條直線上，斜邊ac長20厘公尺，直角邊bc長10厘公尺。如下圖所示，三角形由位置ⅰ繞a點轉動，到達位置ⅱ，此時b，c點分別到達b1，c1點；再繞b1點轉動，到達位置ⅲ，此時a，c1點分別到達a2，c2點。求c點經c1到c2走過的路徑的長。
2、下頁左上圖中每個小圓的半徑是1厘公尺，陰影部分的周長是多少厘公尺？
解：大圓直徑是6厘公尺，小圓直徑是2厘公尺。陰影部分周長是6π+2π×7=62.8（厘公尺）。
3、乙隻狗被拴在乙個邊長為3公尺的等邊三角形建築物的牆角上（見右上圖），繩長是4公尺，求狗所能到的地方的總面積。
解：如下頁右上圖所示，可分為半徑為4公尺、圓心角為300°的扇形與兩個半徑為1公尺、圓心角為120°的扇形。面積為
解：設∠cab為n度，半圓adb的半徑為r。由題意有
解得n=60。
5、右上圖是乙個400公尺的跑道，兩頭是兩個半圓，每一半圓的弧長是100公尺，中間是乙個長方形，長為100公尺。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。
6、左下圖中，正方形周長是圓環周長的2倍，當圓環繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環轉了幾圈？
7、右上圖中，圓的半徑是4厘公尺，陰影部分的面積是14π厘公尺2 ，求圖中三角形的面積。
解：圓的面積是42π=16π（厘公尺2），空白扇形面積佔圓面積的1-
的等腰直角三角形，面積為4×4÷2=8（厘公尺2）。
四、習題練習
1、如下圖，在大圓中擷取乙個面積最大的正方形，然後在正方形中擷取乙個面積最大的圓。已知正方形的面積為20cm2，求大圓和小圓的面積各是多少平方厘公尺？
2、有乙個等腰直角三角形abc，它的直角邊ab＝1dm，將b點固定，讓三角形按順時針方向繞b點旋轉90°，得到右面的圖形，求斜邊在旋轉過程中掃過的面積(即圖中的陰影部分)。
3、左下圖中，陰影部分的面積是5.7cm2，△abc的面積是多少平方厘公尺？(第八屆《小學生數學報》數學競賽題)
4、右圖中以o為圓心的圓，半徑是10cm。以c為圓心，ac為半徑畫一圓弧，求**部分的面積。(2023年廣東省小學數學競賽題)
5、如圖，在直角三角形abc中，∠a＝60°，以a為圓心，以ac為半徑畫弧與ab相交於d，如果圖中陰影部分的面積為6πcm2，那麼ab的長是多少厘公尺？
6、如圖，大圓的直徑為4cm，求陰影部分的面積。
7、下圖中的圓半徑oa＝9cm，∠1＝∠2＝15°，求陰影部分的面積。
8、如圖，把oa8等分，以o為圓心畫出6個扇形，已知最小的扇形是10cm2，求陰影部分的面積。
9、圖中的半圓直徑ab是3cm，把半圓繞a點逆時針旋轉60°，求陰影部分的面積。
10、 圖中c、d把半圓弧三等分,直徑ab＝12cm,求陰影部分的面積。
11、圖中abcd是平行四邊形,ad＝8cm,ab＝10cm,∠dab＝30°，高ch＝4cm，弧be、df分別以ab、cd為半徑，弧dm、bn分別以ad、cb為半徑，陰影部分的面積是多少平方厘公尺？(2023年全國奧賽決賽題)
12、如圖所示，正方形abcd的邊長是12cm，已知de與ec長度的比是1∶2，求陰影部分的面積。
13、 圖中, 陰影部分的面積是50cm2, 求環形的面積。
14、如圖，oa、ob分別是小圓的直徑，並且oa＝ob＝6cm，∠boa＝90°陰影部分的面積是多少平方厘公尺？(2023年全國奧賽預賽題)
15、乙個半圓形區域的周長等於它的面積，這個半圓的半徑是多少？(2023年全國奧賽決賽題)
16、下圖中，平行四邊形abcd的面積是40cm2，△cob(陰影部分)的面積是多少平方厘公尺ab
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六年級奧數圓與扇形 學生版
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