1. 利用圓與扇形面積公式進行面積計算．
2. 會將不規則圖形轉化為規則圖形進行面積計算．
研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規則圖形，通過變**形的位置或對圖形進行分割、旋轉、拼補，使它變成可以計算出面積的規則圖形來計算它們的面積.
圓的面積；扇形的面積=；
圓的周長=；扇形的弧長=.
一、 跟曲線有關的圖形元素。
1、 扇形：扇形由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經常說的圓、圓、圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角佔這個圓周角的幾分之幾.
那麼一般的求法是什麼呢？關鍵是.
比如：扇形的面積=所在圓的面積；
扇形中的弧長部分=所在圓的周長
扇形的周長=所在圓的周長2半徑（易錯點是把扇形的周長等同於扇形的弧長）
2、 弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積。
一般來說，弓形面積=扇形面積-三角形面積。（除了半圓）
3、 「彎角」：如圖： 彎角的面積=正方形-扇形
4、 「穀子」：如圖： 「穀子」的面積=弓形面積×2
二、 常用的思想方法：
1、 轉化思想（複雜轉化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的）
2、 等積變形（割補、平移、旋轉等）
3、 借來還去（加減法）
4、 外圍入手（從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的「關係」）
【例 1】 如圖，在188的方格紙上，畫有1，9，9，8四個數字．那麼，圖中的陰影面積佔整個方格紙面積的幾分之幾?
【分析】 我們數出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654個，其中部分有6+6+820個，部分有6+6+820（個），而1個和1個正好組成乙個完整的小正方形，所以陰影部分共包含54+2074（個）完整小正方形，而整個方格紙包含818144（個）完整小正方形．所以圖中陰影面積佔整個方格紙面積的，即．
［拓展］ 如圖，abcd是邊長為a的正方形，以ab、bc、cd、da分別為直徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積．（取3）
［分析］ 這道題目是很常見的面積計算問題.陰影部分是乙個花瓣狀的不規則圖形，不能直接通過面積公式求解，觀察發現陰影部分是乙個對稱圖形，我們只需要在陰影部分的對稱軸上作兩條輔助線就明了了.
如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個半圓減去三角形，我們可以求得，
【例 2】 如圖，陰影部分的面積是多少？
【分析】 首先觀察陰影部分，我們發現陰影部分形如乙個號角，但是我們並沒有學習過如何求號角的面積，那麼我們要怎麼辦呢？陰影部分我們找不到出路，那麼我們不妨考慮下除了陰影部分之外的部分吧！觀察發現，陰影部分左側是乙個扇形，而陰影部分右邊的空白部分恰好與左邊的扇形構成乙個邊長為4的正方形，那麼陰影部分的面積就等於大的矩形面積減去正方形面積。
則陰影部分面積
［鋪墊］ 計算圖中陰影部分的面積(單位：分公尺)．
［分析］ 將右邊的扇形向左平移，如圖所示．兩個陰影部分拼成—個直角梯形．
(平方分公尺)．
【例 3】 (第四屆走美決賽試題)如圖，邊長為3的兩個正方形bdke、正方形dcfk併排放置，以bc為邊向內側作等邊三角形，分別以b、c為圓心，bk、ck為半徑畫弧．求陰影部分面積．(π取3.14)
【分析】 根據題意可知扇形的半徑恰是正方形的對角線，所以，如右圖將左邊的陰影翻轉右邊陰影下部，
［鞏固］ 求圖中陰影部分的面積．（取3）
［分析］ 看到這道題，一下就會知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過作差來求出陰影部分面積，因為陰影部分非常不規則，無法入手.
這樣，平移和旋轉就成了我們首選的方法.
解法一： 我們只用將兩個半徑為10厘公尺的四分之一圓減去空白的①、②部分面積之和即可，其中①、②面積相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊ab的長度未知．單獨求①部分面積不易，於是我們將①、②部分平移至一起，如右下圖所示，則①、②部分變為乙個以ac為直角邊的等腰直角三角形，而ac為四分之一圓的半徑，所以有ac10．兩個四分之一圓的面積和為150，而①、②部分的面積和為，所以陰影部分的面積為(平方厘公尺)．
解法二： 欲求圖中陰影部分的面積，可將左半圖形繞b點逆時針方向旋轉180°，使a與c重合，從而構成如右圖的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.
所以陰影部分面積為（平方厘公尺）.
【例 4】 如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12，那麼陰影部分面積是多少？(圓周率取)
【分析】 方法一：設小正方形的邊長為，則三角形與梯形的面積均為．陰影部分為：大正方形梯形三角形右上角不規則部分大正方形右上角不規則部分圓．因此陰影部分面積為：．
方法二：連線、，設與的交點為,由於四邊形是梯形，根據梯形蝴蝶定理有,所以
［鞏固］ 如圖，是正方形，且，求陰影部分的面積．(取)
［分析］ 方法一：兩個分割開的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那麼我們把它們通過切割、移動、補齊，使兩塊陰影部分連線在一起，這個時候我們再來考慮，可能會有新的發現. 由於對稱性，我們可以發現，弓形bmf的面積和弓形bnd的面積是相等的，因此，陰影部分面積就等於不規則圖形bdwc的面積。
因為abcd是正方形，且faadde1，則有cdde。那麼四邊形bdec為平行四邊形，且∠e45°.我們再在平行四邊形bdec中來討論，可以發現不規則圖形bdwc和扇形wde共同構成這個平行四邊形，由此，我們可以知道陰影部分面積平行四邊形bdec-扇形dew.
方法二：先看總的面積為的圓，加上乙個正方形，加上乙個等腰直角三角形，在則陰影面積為總面積扣除乙個等腰直角三角形，乙個圓，乙個的扇形．那麼最終效果等於乙個正方形扣除乙個的扇形．面積為．
【例 5】 如圖所示，陰影部分的面積為多少?(圓周率取)
【分析】 圖中、兩部分的面積分別等於右邊兩幅圖中的、的面積．
所以．【例 6】 如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那麼這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取)
【分析】 如圖新增輔助線，小圓內部的陰影部分可以填到外側來，這樣，空白部分就是乙個圓的內接正方形．設大圓半徑為，則，，所以．
移**形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關係．
［鞏固］ 如圖中三個圓的半徑都是5，三個圓兩兩相交於圓心．求陰影部分的面積和．(圓周率取)
［分析］ 將原圖割補成如圖，陰影部分正好是乙個半圓，面積為
【例 7】 在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差．(圓周率取)
【分析】 我們只要看清楚陰影部分如何構成則不難求解．左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除乙個長方形中的不規則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規則白色部分，那麼它們的差應為大扇形減去小扇形，再減去長方形．則為：．
［鞏固］ 如圖，等腰直角三角形abc的腰為10；以a為圓心，ef為圓弧，組成扇形aef；兩個陰影部分的面積相等.求扇形所在的圓面積.
［分析］ 題目已經明確告訴我們abc是等腰直角三角形，aef是扇形，所以看似沒有關係的兩個陰影部分通過空白部分聯絡起來.
等腰直角三角形的角a為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍.
而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即，
則圓的面積為
【例 8】 如圖，矩形abcd中，ab6厘公尺，bc4厘公尺，扇形abe半徑ae6厘公尺，扇形cbf的半徑cb4厘公尺，求陰影部分的面積.（取3）
【分析】 方法一：觀察發現，陰影部分屬於乙個大的扇形，而這個扇形除了陰影部分之外，還有乙個不規則的空白部分abfd在左上，求出這個不規則部分的面積就成了解決這個問題的關鍵.
我們先確定abfd的面積，因為不規則部分abfd與扇形bcf共同構成長方形abcd，
所以不規則部分abfd的面積為（平方厘公尺），
再從扇形abe中考慮，讓扇形abe減去abfd的面積，
則有陰影部分面積為（平方厘公尺）.
方法二：利用容斥原理（平方厘公尺）
［鞏固］ 如圖，ab與cd是兩條垂直的直徑，圓o的半徑為15，是以c為圓心，ac為半徑的圓弧. 求陰影部分面積．
［分析］ 陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那麼我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形abc再減去扇形acb的結果.
半圓面積為，
三角形abc面積為，又因為三角形面積也等於，
所以，那麼扇形acb的面積為.
陰影部分面積
225 （平方厘公尺）
【例 9】 下圖中，，陰影部分的面積是
【分析】 如圖可知3，設大半圓半徑為，小圓半徑為，如右圖，，根據勾股定理得，故大半圓面積等於小圓面積，由圖可知
［鋪墊］ 如圖，求陰影部分的面積.（取3）
［分析］ 如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出它們的面積，那麼我們應該怎麼來解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎麼產生的，觀察發現月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那麼我們就找到了解決問題的方法了.
陰影部分面積小圓面積中圓面積三角形面積大圓面積
6【例11】 草場上有乙個長20公尺、寬10公尺的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30公尺的繩子拴著乙隻羊(見如圖)．問：這只羊能夠活動的範圍有多大？(圓周率取)
【分析】 (此題十分經典)如圖所示，羊活動的範圍可以分為，，三部分，其中是半徑公尺的個圓，，分別是半徑為公尺和公尺的個圓．
所以羊活動的範圍是
．【例12】 傳說古老的天竺國有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方公尺.每當太陽西下，鐘面就會出現奇妙的陰影(如左下圖).那麼，陰影部分的面積是多少平方公尺？
【分析】 在這個題目中，陰影部分和空白部分都是不規則圖形，那麼我們既無法通過面積公式直接求出陰影部分面積，也無法通過求出空白部分面積，再用大圓面積減去空白部分面積求解，這個時候，我們只能利用整體思想，通過轉化，尋找陰影部分與整體圖形的關係.
將原題圖中的等邊三角形旋轉30°（注意，只轉三角形，圓形不動），得到右上圖．因為△aod、△bod都是等邊三角形，所以四邊形obda是菱形，推知△aob與△adb面積相等．又因為弦ad所對的弓形與弦bd所對的弓形面積相等，所以扇形aob中陰影部分面積佔一半．同理，在扇形aoc、扇形boc中，陰影部分面積也佔一半．所以，陰影部分面積佔圓面積的一半，是1025(平方公尺).
第十七講圓與扇形 學生版
內容概述 與圓和扇形的周長 面積相關的幾何問題，將所求的物件進行適當的移動 分割或拼補以簡化計算是常用的方法 典型問題 1 如圖17 1，有8個半徑為1厘公尺的小圓，用它們的圓周的一部分連成乙個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心 如果圓周率取3.1416，那麼花瓣圖形的面積是多少平方厘公尺?2 如圖...
第5講推理與證明
基礎鞏固題組 建議用時 40分鐘 一 選擇題 1 觀察 x2 2x，x4 4x3，cos x sin x，由歸納推理得 若定義在r上的函式f x 滿足f x f x 記g x 為f x 的導函式，則g x a f x b f x c g x d g x 解析由已知得偶函式的導函式為奇函式，故g x ...
預備班提高班第5講
4 x3 y3 x y 3 5 m n 3 4 m n 2 6 0 例3 1 已知am 2，an 3，求a2m 3n的值 2 若 2 8 16 2，求正整數n的值 例4 1 若xm x2m 2，求x9m的值 2 若a2n 3，求 a6n 2的 a3n 4的值 達標測評 1 下列各式計算正確的 a.b...