¤知識要點：
1. 圓的標準方程：方程表示圓心為a（a，b），半徑長為r的圓.
2. 求圓的標準方程的常用方法：（1）幾何法：根據題意，求出圓心座標與半徑，然後寫出標準方程；
（2）待定係數法：先根據條件列出關於a、b、r的方程組，然後解出a、b、r，再代入標準方程.
¤例題精講：
【例1】求下列各圓的方程：
（1）過點，圓心在；
（2）圓心在直線上的圓c與y軸交於兩點
解：（1）設所求圓的方程為. 則
， 解得. ∴ 圓的方程為.
（2）圓心**段ab的垂直平分線上，代入直線得，
圓心為，半徑.
∴ 圓c的方程為.
【例2】已知點a(－4，－5)，b(6，－1)，則以線段ab為直徑的圓的方程為
【例3】乙個圓經過點與，圓心在直線上，求此圓的方程.
解：設圓心，則， 解得.
圓的半徑.
∴ 圓的標準方程為.
另解：線段ab的中點，即. 直線ab的斜率.
所以弦ab的垂直平分線的方程為，即.
解方程組，得， 即圓心.
圓的半徑.
∴ 圓的標準方程為.
點評：兩種解法，都是先求出圓心與半徑，第一種解法用設圓心座標後列方程而求，第二種解法用兩條直線的交點求圓心. 由上可得，解法關鍵都是如何求圓心與半徑.
【例4】以點為圓心，與直線相切的圓的方程是
【例5】：求與x軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長等於的圓的方程.
解：因圓心在直線上，故可設圓心.
又 ∵ 圓與軸相切， ∴， 從而設圓方程為.
由弦心距， ∴ ，解得.
當時，，圓方程為.
當時，，圓方程為
圓的一般方程
¤知識要點：
1. 圓的一般方程：方程（）表示圓心是，半徑長為的圓. 2. 軌跡方程是指點動點m的座標滿足的關係式.
¤例題精講：
【例1】求過三點a(2,2)、b(5,3)、c(3,－1)的圓的方程.
解：設所求圓的方程為. 則
， 解得.
∴ 圓的方程為.
【例2】設方程，若該方程表示乙個圓，求m的取值範圍。
解：配方得，該方程表示圓，則有，得
【例3】已知線段ab的端點b的座標是(4,3)，端點a在圓上運動，求線段ab的中點軌跡方程.
.【例4】求經過兩點，且在兩座標軸上的四個截距之和為4的圓的方程.
解：設所求圓的方程為.
當時，，則； 當時，，則.
則， 解得.
∴ 圓的方程為.
點評：用待定係數法的一般步驟是「設（設含待定係數的方程）→列（利用條件列出係數所滿足的方程組）→求（解方程組）→寫（寫出所求方程）」. 當已知圓上三點或兩點時，選用圓的一般方程形式較為簡單.
當易知圓心和半徑時，選用圓的標準方程形式易求解.
練習：1.已知m（3，0），圓，求過m點最長的弦所在的直線方程
2.若實數滿足，則的最大值是（ a ）.
a. b. c. d.
3.設圓x2+y2－4x－5=0的弦ab的中點為p（3，1），則直線ab的方程是
x+y－4=0.
4.一曲線是與定點o(0,0)，a(3,0)距離的比是的點的軌跡，求此曲線的軌跡方程.
解：設是曲線上的任意一點，∵ 點m到點o、a的距離之比為，
∴，化簡得.
直線與圓的位置關係
¤知識要點：
1. 直線與圓的位置關係及其判定： 方法一：方程組思想，由直線與圓的方程組成的方程組，消去x或（y），化為一元二次方程，由判別式符號進行判別；
方法二：利用圓心（）到直線的距離，比較d與r的大小.
（1）相交；（2）相切；（3）相離.
2. 直線與圓的相切研究，是高考考查的重要內容. 同時，我們要熟記直線與圓的各種方程、幾何性質，也要掌握一些常用公式，例如點線距離公式
¤例題精講：
【例1】（02年全國卷.文）若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2＋y2－2x＝0相切，則a的值為 .
解：將圓x2＋y2－2x＝0的方程化為標準式：（x－1）2＋y2＝1, 其圓心為（1，0），半徑為1，由直線（1＋a）x＋y＋1＝0與該圓相切，則圓心到直線的距離， ∴ a＝－1.
【例2】求直線被圓所截得的弦長.
解：圓心c的座標是，半徑長. 圓心到直線的距離.
所以，直線被圓截得的弦長是.
【例3】若經過點的直線與圓相切，則此直線在y軸上的截距是 .
解：圓的標準方程為，則圓心，半徑.
設過點的直線方程為，即.
∴ 圓心到切線的距離，解得.
∴ 直線方程為，在y軸上的截距是1.
點評：研究直線和圓的相切，簡捷的方法是利用公式，還可以由方程組只有乙個實根進行解答. 選擇恰當的方法，是我們解題的一種能力.
【例4】設圓上的點a（2，3）關於直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓的方程.
解：設a關於直線x+2y=0的對稱點為a』. 由已知得aa』為圓的弦，得到aa』的對稱軸x+2y=0過圓心.
設圓心p（-2a，a），半徑為r， 則r=|pa|=(-2a-2)2+(a-3)2.
又弦長，圓心到弦aa』的距離為，
∴， 即4(a+1)2+(a-3)2=2+， 解得a=-7或a=-3.
當a=-3時，r=；當a=-7時，r=. ∴ 所求圓方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
點評：在解答與圓的弦長相關的一些問題時，常用勾股定理，得到圓心到弦的距離d、半徑r、半弦長的乙個勾股式. 這種方法與方程組的思想求解弦長問題相比，計算過程較為簡單.
練習：1．直線4x－3y－2＝0與圓的位置關係是（ ）.
a．相交 b．相切 c．相離 d．以上都不對
2．若直線與圓有公共點，則（ ）.
a． b． c． d．
3．平行於直線2x－y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是（ ）.
a．2x－y+5=0b．2x－y－5=0
c．2x＋y+5=0或2x＋y－5=0 d．2x－y+5=0或2x－y－5=0
4．直線x=2被圓所截弦長等於, 則a的值為（ ）.
a. －1或－3 b.或 c. 1或3d.
5．圓在點處的切線方程為（ ）.
a. b. c. d.
6．（03年上海春）若經過兩點a（－1，0）、b（0，2）的直線l與圓（x－1）2+（y－a）2=1相切，則a
7．求直線x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對的圓心角.
8．一直線過點，被圓截得的弦長為8, 求此弦所在直線方程.
圓與圓的位置關係
¤知識要點：
兩圓的位置關係及其判定： 設兩圓圓心分別為，半徑分別為，則：
（1）兩圓相交；（2）兩圓外切；
（3）兩圓內切；
¤例題精講：
【例1】已知圓：①，圓：②
（1）試判斷兩圓的位置關係；（2）求公共弦所在的直線方程.
解：（1）∵圓的圓心為（3,0），半徑為，圓的圓心為（0，2），半徑為，
又，∴＜，
∴圓與相交.
（2）由①－②，得公共弦所在的直線方程為.
【例2】求經過兩圓和的交點，並且圓心在直線上的圓的方程.
解：設所求圓的方程為，即
, 則所求圓的圓心為.
∵圓心在直線上， ∴，解得.
∴ 所求圓的方程為＋
【例3】已知圓c與圓關於直線對稱，則圓c的方程為
a. b. c. d.
解：已知圓的半徑，圓心，
圓心關於直線的對稱點為，
則圓c的方程為. 選c.
點評：圓關於直線的對稱圖形仍然是圓，半徑不變，圓心關於直線對稱. 我們要掌握一些常見對稱問題的解答思路，例如點關於直線的對稱，曲線關於直線的對稱，曲線關於點的對稱等，解答理論基礎有中點座標公式、垂直時斜率乘積為－1、代入法、轉化思想.
同時，我們也要掌握一些簡單對稱，如點關於直線的對稱點為.
【例4】求圓與圓的公共弦的長.
解：由題意，列出方程組
，消去二次項，得，它即公共弦所在直線的方程.
圓的圓心到直線的距離為.
所以，兩圓的公共線長為.
點評：為何兩圓的方程消去二次項後，即為公共弦所在直線的方程，我們易由曲線系的知識可得. 比較方程思想與幾何方法求解兩圓的公共弦長，幾何方法更為簡捷.
先求公共弦所在直線，再求一圓心到直線的距離，通過公式求得弦長.
練習：1．圓與圓外切，則m的值為（ ）.
a. 2 b. －5 c. 2或－5 d. 不確定
2．若圓和圓關於直線對稱，則直線的方程為（ ）.
a. b. c. d.
3．兩個圓與的公切線有且僅有（ ）.
a．1條 b．2條 c．3條 d．4條
4．求圓關於直線的對稱圓方程.
直線與圓的方程的應用
¤例題精講：
【例1】自點a(-3,3)發出的光線l射到x軸上,被x軸反射, 其反射光線所在的直線與圓相切, 求光線l所在的直線方程.
解：由已知可得圓c：關於x軸對稱的圓c『的方程為，其圓心c『（2，-2），易知l與圓c』相切.
設l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.
∴，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.
所以，所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
點評：關於求切線問題, 利用圓心到切線的距離等於圓的半徑的條件, 是解決圓的切線方程的常用方法. 如果由方程組思想，通過「」求切線方程也可, 但過程要複雜些.
【例2】實數滿足， 求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.
解：原方程為，表示以為圓心，2為半徑的圓.
（1）設，幾何意義是：圓上點與點連線的斜率.
由圖可知當直線mq是圓的切線時，取最大值與最小值。
設切線，即.
圓心p到切線的距離，化簡為，解得或.
∴的最大值為0,最小值為.
（2）設，幾何意義是：直線與圓有公共點.
∴ 圓心p到直線的距離≤2，解得≤≤.
∴的最大值為，最小值為.
點評：代數式最大值最小值的研究，常用數形結合思想方法，將要研究的代數問題轉化為幾何問題，關鍵是如何挖掘代數式的特點，利用幾何意義進行轉化。例如，由代數式聯想到兩點的距離公式，或圓的方程；由代數式聯想到兩點的斜率，或直線的方程；由代數式聯想到直線的方程；由代數式聯想到數軸上到兩點的距離之和，等等。
圓的標準方程教師版
一 基礎過關 1 x 1 2 y 2 2 4的圓心與半徑分別為 a 1,2 2 b 1，2 2 c 1,2 4d 1，2 4 2 點p m2,5 與圓x2 y2 24的位置關係是 a 在圓內b 在圓外 c 在圓上d 不確定 3 圓的一條直徑的兩個端點是 2,0 2，2 則此圓的方程是 a x 2 2...
圓與扇形 題庫教師版
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圓的標準方程
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