基礎知識：
1．複數的有關概念
(1)複數的概念
形如a＋bi (a，b∈r)的數叫做複數，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數，若b≠0，則a＋bi為虛數，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數．
(2)複數相等：a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d(a，b，c，d∈r)．
(3)共軛複數：a＋bi與c＋di共軛a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈r)．
(4)復平面
建立直角座標系來表示複數的平面，叫做復平面．x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數．
(5)複數的模
向量的模r叫做複數z＝a＋bi的模，記作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．復數的幾何意義
(1)複數z＝a＋bi復平面內的點z(a，b)(a，b∈r)．
(2)複數z＝a＋bi平面向量 (a，b∈r)．
3．複數的運算
(1)複數的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈r)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝＋i(c＋di≠0)．
(2)複數加法的運算定律
複數的加法滿**換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈c，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
基礎練習：
1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打「√」或「×」)
(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解
(2)複數z＝a＋bi(a，b∈r)中，虛部為bi
(3)複數中有相等複數的概念，因此複數可以比較大小
(4)原點是實軸與虛軸的交點
(5)複數的模實質上就是復平面內複數對應的點到原點的距離，也就是複數對應的向量的模
2．(2012·北京)設a，b∈r.「a＝0」是「複數a＋bi是純虛數」的
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
答案 b
解析當a＝0，且b＝0時，a＋bi不是純虛數；若a＋bi是純虛數，則a＝0.
故「a＝0」是「複數a＋bi是純虛數」的必要而不充分條件．
3．(2013·陝西)設z是複數，則下列命題中的假命題是( )
a．若z2≥0，則z是實數
b．若z2<0，則z是虛數
c．若z是虛數，則z2≥0
d．若z是純虛數，則z2<0
答案 c
解析設z＝a＋bi(a，b∈r)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或.所以a＝0時b＝0，b＝0時a∈r.故z是實數，所以a為真命題；由於實數的平方不小於0，所以當z2<0時，z一定是虛數，故b為真命題；由於i2＝－1<0，故c為假命題，d為真命題．
4．(2013·四川)如圖，在復平面內，點a表示複數z，由圖中表示z的共軛複數的點是( )
a．ab．b
c．cd．d
答案 b
解析表示複數z的點a與表示z的共軛複數的點關於x軸對稱，∴b點表示.選b.
5．(2013·廣東)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈r，則複數x＋yi的模是( )
a．2 b．3 c．4 d．5
答案 d
解析由題意知x＋yi＝＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
深度分類剖析：
題型一複數的概念
例1 (1)已知a∈r，複數z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數，則複數的虛部為( )
a．1b．icd．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈r)，z2＝3－2i，則「m＝1」是「z1＝z2」的( )
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分又不必要條件
思維啟迪 (1)若z＝a＋bi(a，b∈r)，則b＝0時，z∈r；b≠0時，z是虛數；a＝0且b≠0時，z是純虛數．
(2)直接根據複數相等的條件求解．
答案 (1)a (2)a
解析 (1)由＝＝＝＋i是純虛數，得a＝1，此時＝i，其虛部為1.
(2)由，解得m＝－2或m＝1，
所以「m＝1」是「z1＝z2」的充分不必要條件．
思維昇華處理有關複數的基本概念問題，關鍵是找準複數的實部和虛部，從定義出發，把複數問題轉化成實數問題來處理．
(1)(2013·安徽)設i是虛數單位．若複數a－ (a∈r)是純虛數，則a的值為( )
a．－3b．－1c．1d．3
(2)(2012·江西)若複數z＝1＋i(i為虛數單位)，是z的共軛複數，則z2＋2的虛部為( )
a．0b．－1c．1d．－2
答案 (1)d (2)a
解析 (1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈r，且a－為純虛數知a＝3.
(2)利用複數運算法則求解．
∵z＝1＋i，
∴＝1－i，z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
題型二複數的運算
例2 計算：(1
(2)( )6
思維啟迪複數的除法運算，實質上是分母實數化的運算．
答案 (1)3－3i (2)－1＋i
解析 (1) ＝＝
＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i.
(2)原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
思維昇華 (1)複數的加法、減法、乘法運算可以模擬多項式運算，除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛複數，注意要把i的冪寫成最簡形式．
(2)記住以下結論，可提高運算速度，
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈n)．
(1)已知複數z＝，是z的共軛複數，則z
(2) ＋()2 014
答案 (1) (2)0
解析 (1)方法一 |z|＝＝，
z·＝|z|2＝.
方法二 z＝＝－＋，
z·＝＝.
(2)原式＝＋[()2]1 007
＝i＋()1 007＝i＋i1 007
＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0.
題型三復數的幾何意義
例3 如圖所示，平行四邊形oabc，
頂點o，a，c分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：
(1) 、所表示的複數；
(2)對角線所表示的複數；
(3)求b點對應的複數．
思維啟迪結合圖形和已知點對應的複數，根據加減法的幾何意義，即可求解．
解 (1) ＝－，∴所表示的複數為－3－2i.
∵＝，∴所表示的複數為－3－2i.
(2) ＝－，∴所表示的複數為
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3) ＝＋＝＋，
∴所表示的複數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即b點對應的複數為1＋6i.
思維昇華因為復平面內的點、向量及向量對應的複數是一一對應的，要求某個向量對應的複數時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可．
已知z是複數，z＋2i、均為實數(i為虛數單位)，且複數(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數a的取值範圍．
解設z＝x＋yi(x、y∈r)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.
∵＝＝ (x－2i)(2＋i)
＝ (2x＋2)＋ (x－4)i，
由題意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根據條件，可知，
解得2∴實數a的取值範圍是(2,6)．
解決複數問題的實數化思想
典例：(12分)已知x，y為共軛複數，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
思維啟迪 (1)x，y為共軛複數，可用複數的基本形式表示出來；(2)利用複數相等，將複數問題轉化為實數問題．
規範解答
解設x＝a＋bi (a，b∈r)，
則y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，[3分]
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，[5分]
根據複數相等得，[7分]
解得或或或.[9分]
故所求複數為
或或或.[12分]
溫馨提醒 (1)複數問題要把握一點，即複數問題實數化，這是解決複數問題最基本的思想方法．
(2)本題求解的關鍵是先把x、y用複數的形式表示出來，再用待定係數法求解．這是常用的數學方法．
(3)本題易錯原因為想不到利用待定係數法，或不能將複數問題轉化為實數方程求解.
思考提高：
方法與技巧
1．複數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數化的過程．
2．在復數的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則的方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結合．
3．實軸上的點都表示實數，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
複數集c和復平面內所有的點所成的集合及平面向量是一一對應關係，即
4．複數運算常用的性質：
(1)①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i；
(2)設ω＝－＋i，則①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③＝ω2.
(3)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈n*)．
失誤與防範
1．判定複數是實數，僅注重虛部等於0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．
2．對於復係數(係數不全為實數)的一元二次方程的求解，判別式不再成立．因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用複數相等的條件進行求解．
3．兩個虛數不能比較大小．
4．利用複數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈r的前提條件．
5．注意不能把實數集中的所有運算法則和運算性質照搬到複數集中來．例如，若z1，z2∈c，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在複數範圍內有可能成立.
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