規律探索型問題
一、規律探索型試題
「規律探索型試題」就是對數字或圖形進行探索，其特點是給定一系列數或關於的等式或一系列圖形，要求我們進行適當地運算，輔之必要地觀察、歸納、猜想、驗證，利用從特殊到一般的數學思想，分析特點，探索規律，總結結論，最終使問題獲解．
首先來看一下河北省近五年的這類題目
1、（2023年河北省中考試題）
有乙個四等分轉盤，在它的上、右、下、左的位置分別掛著「眾」、「志」、「成」、「城」四個字牌，如圖5-1若將位於上下位置的兩個字牌對調，同時將位於左右位置的兩個字牌對調，再將轉盤順時針旋轉90°，則完成一次變換．圖5-2，圖5-3分別表示第1次變換和第2次變換．按上述規則完成第9次變換後，「眾」字位於轉盤的位置是（ ）
a．上 b．下 c．左 d．右
[答案]c
2、（2023年河北省中考試題）
古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 … 這樣的數稱為「三角形數」，而把1、4、9、16 … 這樣的數稱為「正方形數」．從圖7中可以發現，任何乙個大於1的「正方形數」都可以看作兩個相鄰「三角形數」之和．下列等式中，符合這一規律的是（ ）
a．13 = 3+10 b．25 = 9+16
c．36 = 15+21 d．49 = 18+31
[答案]c
3、（2023年河北省中考試題）
將正方體骰子（相對面上的點數分別為1和6、2和5、3和4）放置於水平桌面上，如圖6-1．在圖6-2中，將骰子向右翻滾90°，然後在桌面上按逆時針方向旋轉90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態，那麼按上述規則連續完成10次變換後，骰子朝上一面的點數是
a．6 b．5 c．3 d．2
[答案]b
4、（2011河北省中考試題）
如圖9，給正五邊形的頂點依次編號為1，2，3，4，5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，頂點編號的數字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次「移位」.
如：小宇在編號為3的頂點時，那麼他應走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次「移位」，這時他到達編號為1的頂點；然後從1→2為第二次「移位」.
若小宇從編號為2的頂點開始，第10次「移位」後，則他所處頂點的編號是
[答案]3
5、（2012河北省中考試題）
某數學活動小組的20位同學站成一列做報數遊戲，規則是：從前面第一位同學開始，每位同學依次報自己順序數的倒數加1，第1位同學報（+1），第2位同學報（+1），第1位同學報（+1）……這樣得到的20個數的積為
[答案] 21。
【考點】分類歸納（數字的變化類），有理數的運算。
【分析】∵第一同學報（+1）=2，第二位同學報（+1）=，第三位同學報（+1）=，……第20位同學報（+1）=，
∴這20個數的積為。
二、2023年全國各省市「規律**」考題彙編
------分類歸納（數字變化類）
1、( 2023年四川省巴中市,18,3)
觀察下列面一列數：1，-2，3，-4，5，-6，…根據你發現的規律，第2012個數是
【解析】觀察知: 下列面一列數中,它們的絕對值是連續正整數,第2012個數的絕對值是2012,值偶數項是負數,故填-2012.
【答案】-2012
2、（2012江蘇泰州3分）
根據排列規律，在橫線上填上合適的代數式
【答案】。
【考點】分類歸納（數字的變化類）。
【分析】尋找規律，代數式的係數為1，3，5，7，9，···，是奇數排列；代數式字母的指數為1，2，3，4，5，···，是自然數排列。所以在橫線上的代數式是。
3、（2012貴州遵義4分）
猜數字遊戲中，小明寫出如下一組數：，小亮猜想出第六個數字是，根據此規律，第n個數是 ．
【答案】。
【考點】分類歸納（數字的變化類）。
【分析】∵分數的分子分別是：2 2=4，23=8，24=16，…2n。
分數的分母分別是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3。∴第n個數是。
4、（2012四川巴中3分）
觀察下面一列數：1，－2，3，－4，5，－6，……，根據你發現的規律，第2012
個數是 .
【答案】－2012。
【考點】分類歸納（數字的變化類）。
【分析】∵1，－2，3，－4，5，－6，…規律為絕對值是連續的自然數，第奇數個數是正數，第偶數個數
是負數，
∴第2012個數是：－2012。
5、（2011湖南常德，8，3分）
先找規律，再填數：
【答案】
6、（2012湖南株洲3分）
一組資料為：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…觀察其規律，推斷第n個資料應為 ．
【答案】。
【考點】分類歸納（數字的變化類）。
【分析】尋找規律：（1）單項式的係數為1，－2，3，－4···，即n為奇數時，係數為正數，n為偶數時，係數為負數，係數的絕對值為，即係數為；
（2）單項式的指數為n。∴第n個資料應為。
7、（2012湖南永州3分）
我們把按照一定順序排列的一列數稱為數列，如1，3，9，19，33，…就是乙個數列，如果乙個數列從第二個數起，每乙個數與它前乙個數的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做這個等差數列的公差．如2，4，6，8，10就是乙個等差數列，它的公差為2．如果乙個數列的後乙個數與前乙個數的差組成的新數列是等差數列，則稱這個數列為二階等差數列．例如數列1，3，9，19，33，…，它的後乙個數與前乙個數的差組成的新數列是2，6，10，14，…，這是乙個公差為4的等差數列，所以，數列1，3，9，19，33，…是乙個二階等差數列．那麼，請問二階等差數列1，3，7，13，…的第五個數應是 ．
【答案】21。
【考點】新定義，分類歸納（數字的變化類）。
【分析】如圖，尋找規律：
因此，n=13＋8=21。
8、（2012湖南衡陽3分）
觀察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
…根據上述規律，計算sin2a+sin2（90°﹣a
【答案】1。
【考點】分類歸納（數字的變化類），互餘兩角三角函式的關係。
【分析】根據①②③可得出規律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，繼而可得出答案
由題意得，
sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=；
…∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1。
9、（2012福建三明4分）
填在下列各圖形中的三個數之間都有相同的規律，根據此規律，a的值是 ．
【答案】900。
【考點】分類歸納（數字變化類）。
【分析】尋找規律：上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；右下是：從第二個圖形開始，左下數字減上面數字差的平方：
（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，… ∴a=（36－6）2=900。
10、（2012四川涼山5分）
對於正數，規定 ，例如：，，則
【答案】。
【考點】分類歸納（數字的變化類），分式的加減法。
【分析】尋找規律：當x=1時，f（1）=；
當x=2時，f（2）=，當x=時，f（）= ，
f（2）＋f（）=1；
當x=3時，f（3）=，當x=時，f（）= ，
f（3）＋f（）=1；
······
當x= n時，f（3）=，當x=時，f（）= ，f（）＋f（）=1。
∴∴當x= 2012時，11、（2012湖北黃石3分）
「數學王子」高斯從小就善於觀察和思考.在他讀小學時候就能在課堂上快速
的計算出，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
令①＋②：有解得：
請模擬以上做法，回答下列問題：
若n為正整數，，則 .
【答案】12。
【考點】分類歸納（數學的變化類），有理數的混合運算，解一元二次方程。
【分析】根據題目提供的資訊，找出規律，列出方程求解即可：
設s=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
則s=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2s=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2＋2n－168=0，解得n1=12，n2=－14（捨去）。
∴n=12。
12、（2012廣西南寧3分）
某單位要組織一次籃球聯賽，賽制為單迴圈形式（每兩隊之間都賽一場），計畫安排10場比賽，則參加比賽的球隊應有【 】
a．7隊 b．6隊 c．5隊 d．4隊
【答案】c。
【考點】分類歸納（數字的變化類），一元二次方程的應用。
【分析】設邀請x個球隊參加比賽，那麼第乙個球隊和其他球隊打（x－1）場球，第二個球隊和其他球隊打（x－2）場，以此類推可以知道共打（1+2+3+…+x－1）= 場球，根據計畫安排10場比賽即可列出方程：，
∴x2－x－20=0，解得x=5或x=-4（不合題意，捨去）。故選c。
13、解答題（2011山東濟寧，18，6分）
觀察下面的變形規律：
＝1－； ＝－；
＝－；……
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，請你猜想
（2）證明你猜想的結論；
（3）求和：＋＋＋…＋ .
【答案】（1） 1分
（2）證明3分
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－5分
模組一規律探索型問題學生版
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中考探索規律型問題歸類
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