1．設x，y為實數，5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值為（ c ）
a.1 b.2 c.3 d.5
解：∵5x2+4y2﹣8xy+2x+4=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
又∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值為3．故選c．
2．已知|a+b|+|a﹣b|﹣2b=0，在數軸上給出關於a，b的四種位置關係如圖所示，則可能成立的有（b）
a. 1種 b. 2種 c. 3種 d. 4種
解：根據絕對值的幾何意義：
由第乙個圖可得：
|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+b﹣a﹣2b=0，成立；
由第二個圖可得：
|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+a﹣b﹣2b=2a﹣2b≠0，不成立；
由第三個圖可得：
|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+b﹣a﹣2b=0，成立；
由第四個圖可得：
|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+a﹣b﹣2b=2a﹣2b≠0，不成立；
所以可能成立的有2種． 故選b．
3．如圖，乙個長為10公尺的梯子斜靠在牆上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8公尺，如果梯子的頂端下滑1公尺，那麼梯子的底端的滑動距離（ b ）
a．等於1公尺 b．大於1公尺 c．小於1公尺 d．不能確定
解：如圖，ac=ef=10公尺，ab=8公尺，ae=1公尺，求cf；
∵∠b=90°，由勾股定理得，bc=6公尺，
又∵ae=1公尺，be=7公尺，ef=10公尺，由勾股定理得，bf=公尺，
∵＞，即＞7，∴ -6＞1．故選b．
4．下表是5個城市的國際標準時間（單位：時），那麼北京時間2023年6月17日上午9時應是（ a ）
a. 倫敦時間2023年6月17日凌晨1時 b. 紐約時間2023年6月17日晚上22時
c. 多倫多時間2023年6月16日晚上20時 d. 漢城時間2023年6月17日上午8時
解：a中，9﹣8=1，即倫敦時間2023年6月17日凌晨1時，正確；
b中，9﹣（8+5）=﹣4．即紐約時間2023年6月16日晚上8時；
c中，9﹣（8+4）=﹣3，即多倫多時間2023年6月16日晚上9時；
d中，9+1=10，即漢城時間2023年6月17日上午10時．∴故選a．
5．如圖，在等腰直角三角形abc中，∠c=90°，d為bc的中點，將△abc摺疊，使點a與點d重合，ef為摺痕，則af：cf=（ c ）
a．2：1 b．3：2 c．5：3 d．7：5
解：∵△def是△aef翻摺而成，
∴△def≌△aef，∠a=∠edf，
∵△abc是等腰直角三角形，∴∠edf=45°，
由三角形外角性質得：∠cdf+45°=∠bed+45°，
∴∠bed=∠cdf，
設cd=a，cf=x，
∵d為bc的中點，∴ca=cb=2a，∴df=fa=2a﹣x，
∴在rt△cdf中，由勾股定理得，cf2+cd2=df2，即x2+a2=（2a﹣x）2，
解得x=a，即cf=a，af=2a﹣a=a，∴af：cf=5：3．故選c．
6.設2a:3=4b:5,a,b≠0,則等於( b )
a. b. c. d.
7.如圖,在等腰rt△abc的斜邊ab上取兩點m、n使∠mcn=45°，
記am=m，mn=n，bn=x，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是（ b ）
a．銳角三角形 b．直角三角形
c．鈍角三角形 d．隨x、m、n的變化而改變
8. 鐵板甲形狀為直角梯形，兩底邊長分別為4cm，10cm，且有一內角為60°；鐵板乙形狀為等腰三角形，其頂角為45°，腰長12cm．在不改變形狀的前提下，試圖分別把它們從乙個直徑為8.5cm的圓洞中穿過，結果是（ b ）
a. 甲板能穿過，乙板不能穿過 b. 甲板不能穿過，乙板能穿過
c. 甲、乙兩板都能穿過d. 甲、乙兩板都不能穿過
解：如圖，ad=4cm，bc=10cm，∠c=60°．
①作de⊥bc於e，則be=4，ec=6，
由∠c=60°知cd=2ec=12，故de==，
由de＞8.5，bc＞8.5，故這兩個方向都不能穿過圓洞．
②作bf⊥cd於f，有cf=bc=5，
得bf==5＞8.5，故沿cd方向不可以通過圓洞．
綜上所述，甲板不能穿過乙個直徑為8.5cm的圓洞；
乙鋼板零件：∵甲形狀為等腰三角形，其頂角為45°，腰長為12cm；
∴可求出可通過的最短長度即一腰的高線，設ad=x，
則有sin45°=，解得x=6＜8.5，∴乙鋼板零件能通過圓形入口． 故選：b．
9．已知a2﹣a=0，則的值是
10．已知，則= ．
11．填在下面各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，m的值是 74 ．
解：0+2=2 2+2=4 4+2=6，所以第四個正方形左下角的數為，6+2=8
0+4=4 2+4=6 4+4=8，所以第四個正方形右上角的數為，6+4=10．
8=2×4﹣0 22=4×6﹣2 44=6×8﹣4 所以m=8×10﹣6=74．故答案為：74．
12．如圖，四邊形abcd是正方形，△ade是等邊三角形，則∠dfe為度數為 75° ．
解：∵四邊形abcd是正方形，∴ab=ad，∠dab=90°，
∵△ade是等邊三角形，∴ad=ae，∠ead=60°，
∴ab=ae．∠eab=90°+60°=150°，∴∠aeb=∠abe=（180°﹣150°）÷2=15°，
∴∠efd=∠ead+∠aef=60°+15°=75°，故答案為：75°．
13．如圖，在△abc中，中線cm與高線cd三等分∠acb，則∠b等於 30° ．
解：根據題意得：cd⊥ab，am=mb，∠acd=∠mcd=∠bcm．
∵∠acd=∠mcd，cd=cd，∠cda=∠cdm=90°，
∴△acd≌△mcd．∴ad=dm=am=bm．
過點m作mn⊥bc於點n，
∵∠dcm=∠ncm，cd⊥ab，∴dm=nm．
∴nm=mb，∴在rt△mnb中，∠b=30°．故答案為：30°．
14．兩條直角邊長分別是整數a，b（其中b＜2011），斜邊長是b+1的直角三角形的個數為 31 ．
解：∵兩條直角邊長分別是整數a，b（其中b＜2011），斜邊長是b+1，
∴a2=（b+1）2﹣b2=2b+1．∴a2為奇數，
∵b是整數，b＜2011，
∴a2是1到4023之間的奇數，而且是完全平方數，這樣的數共有31個，
即32，52，…，632．
∴a可以為3，5，…，63，∴滿足條件的直角三角形的個數為31．故答案為：31．
15．如圖，△abc中，已知ab=ac，△def是△abc的內接正三角形，
α=∠bdf，β=∠ced，γ=∠afe，則用β、γ表示α的關係式是 α= ．
解：∵△abc中，ab=ac，∴∠b=∠c，∴∠a+2∠b=180°①，
∵△def是等邊三角形，α=∠bdf，β=∠ced，γ=∠afe，
∴∠1=120°﹣β，∠2=120°﹣γ，
在△aef中，∠a+∠1+γ=180°，即∠a+120°﹣β+γ=180°②，
在△bdf中，∠b+α+∠2=180°，即∠b+α+120°﹣γ=180°③，
①②③聯立，解得α=．故答案為：α=．
16．如圖，直線l平行於射線am，要在直線l與射線am上各找一點b和c，
使得以a、b、c為頂點的三角形是等腰直角三角形，這樣的三角形最多能畫 3 個．
解：如圖：
①ac為直角邊時，符合等腰直角三角形有2個，乙個是以∠bac為直角，
乙個是以∠acb為直角；
②ac為斜邊時，符合等腰直角三角形有1個．
∴這樣的三角形最多能畫3個，故答案為：3．
1718．如圖所示，已知△abc是邊長為6cm的等邊三角形，動點p、q同時從a、b兩點出發，分別沿ab、bc方向勻速運動，其中點p運動的速度是1cm/s，點q運動的速度是2cm/s，當點q到達點c時，p、q兩點都停止運動，設運動時間為t s，解答下列問題：
（1）當點q到達點c時，pq與ab的位置關係如何？請說明理由．
（2）在點p與點q的運動過程中，△bpq是否能成為等邊三角形？若能，請求出t，若不能，請說明理由．
解：（1）當點q到達點c時，pq與ab垂直，即△bpq為直角三角形．
理由是：
∵ab=ac=bc=6cm，∴當點q到達點c時，bp=3cm，
∴點p為ab的中點．
∴qp⊥ba（等邊三角形三線合一的性質）．
（2）假設在點p與點q的運動過程中，△bpq能成為等邊三角形，
∴bp=pq=bq，∴6-t=2t，解得t=2．
∴當t=2時，△bpq是個等邊三角形．
19.從甲站到乙站共有800千公尺，開始400千公尺是平路，接著300千公尺是上坡路，餘下的是下坡路，已知火車在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3：4：5，
（1）若火車在平路上的速度是80千公尺/小時，那麼它從甲站到乙站所用的時間比從乙站到甲站所用的時間多多少小時？
（2）若要求火車來回所用的時間相同，那麼火車從甲站到乙站在平路上的速度與乙站到甲站在平路上的速度的比是多少？
解：（1）甲乙兩地之間的距離是800千公尺，開始400千公尺是平路，接著300千公尺是上坡路，所以下坡路是100千公尺，火車在平路上的速度是80千公尺/小時，所以火車在上坡路上的速度是60千公尺/小時，在下坡路上的速度是100千公尺/小時，所以,從甲地到乙地用的時間為，
從乙地到甲地用的時間為，
所以從甲地到乙地用的時間比從乙地到甲地用的時間多小時．
（2）設火車從甲地到乙地在平路上的速度是4v1千公尺/小時，則它在上坡路上的速度是3v1千公尺/小時，在下坡路上的速度是5v1千公尺/小時，
所以火車從甲地到乙地用的時間是，
同樣，設火車從乙地到甲地在平路上的速度是4v2千公尺/小時，則它在上坡路上的速度是3v2千公尺/小時，在下坡路上的速度是5v2千公尺/小時，所以火車從乙地到甲地用的時間是，
20.如圖,在等腰直角△abc中, ∠bac=90°,ad=ae,af⊥be交bc於點f,過f作fg⊥cd交be延長線於g，求證：bg=af+fg．
初中數學競賽輔導
函式的圖象 甲內容提要 1.函式的圖象定義 在直角座標系中，以自變數x為橫座標和以它的函式y 的對應值為縱座標的點的集合，叫做函式y f x 的圖象.例如一次函式y kx b k,b 是常數，k 0 的圖象是一條直線l.1 l 上的任一點p0 x0,y0 的座標，適合等式y kx b,即y0 kx0...
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初中數學競賽輔導
初中數學競賽輔導資料 2 倍數約數 甲內容提要 1兩個整數a和b b 0 如果b能整除a 記作b a 那麼a叫做b的倍數，b叫做a的約數。例如3 15，15是3的倍數，3是15的約數。2因為0除以非0的任何數都得0，所以0被非0整數整除。0是任何非0整數的倍數，非0整數都是0的約數。如0是7的倍數，...