函式的圖象
甲內容提要
1. 函式的圖象定義：在直角座標系中，以自變數x為橫座標和以它的函式y 的對應值為縱座標的點的集合，叫做函式y=f(x)的圖象.
例如一次函式y=kx+b (k,b 是常數，k ≠0)的圖象是一條直線l.
1 l 上的任一點p0(x0,y0) 的座標，適合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b；
2 若y1=kx1+b，則點p1(x1,y1) 在直線l 上.
2. 方程的圖象：我們把y=kx+b 看作是關於x, y 的二元
一次方程kx－y+b=0, 那麼直線l就是以這個方程的解為座標
的點的集合，我們把這條直線叫做二元一次方程的圖象.
二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常數，a≠0,b≠0) 叫做直線方程.
一般地，在直角座標系中，如果某曲線是以某二元方程的解為座標的
點的集合，那麼這曲線就叫做這個方程的圖象. 例如：
二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函式)的圖象是拋物線；
二元分式方程y= (k≠0) (即反比例函式)的圖象是雙曲線.
3. 函式的圖象能直觀地反映自變數x 與函式y 的對應規律. 例如：
1 由圖象的最高，最低點可看函式的最大，最小值；
2 由圖象的上公升，下降反映函式 y是隨x的增大而增大(或減小)；
3 函式y=f(x)的圖象在橫軸的上方，下方或軸上，分別表示y>0,y<0,y=0. 圖象所對應的橫座標就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.
4 兩個函式圖象的交點座標，就是這兩個圖象所表示的兩個方程(即函式解析式)的公共解.等等
4. 畫函式圖象一般是：
①應先確定自變數的取值範圍. 要使代數式有意義，並使代數式所表示的實際問題有意義，還要注意是否連續，是否有界.
②一般用描點法，但對一次函式(二元一次方程)的圖象，因它是直線(包括射線、線段)，所以可採用兩點法.線段一定要畫出端點(包括臨界點).
③對含有絕對值符號(或其他特殊符號)的解析式 ，應按定義對自變數分割槽討論，寫成幾個解析式.
乙例題例1. 右圖是二次函式y=ax2+bx+c (a≠0)，
試決定a, b, c 及b2－4ac的符號.
解：∵拋物線開口向下， ∴a<0.
∵對稱軸在原點右邊，∴x=－>0且a<0, ∴b>0.
∵拋物線與縱軸的交點在正半軸上， ∴截距c>0.
∵拋物線與橫軸有兩個交點， ∴b2－4ac>0.
例2. 已知：拋物線f：y=－(x－2)2+5.
試寫出把f向左平行移動2個單位後，所得的曲線f1的方程；以及f 關於x 軸對稱的曲線f2 的方程. 畫出f1和f2的略圖，並求：
（1） x的值什麼範圍，曲線f1和f2都是下降的；
（2） x的值在什麼範圍，曲線f1和f2圍成乙個封閉圖形；
（3） 求在f1和f2圍成封閉圖形上，平行於y軸的線段的長度的最大值.
（2023年福建省中招試題）
解：f1 ：y=－x2+5 (由頂點橫座標變化確定的)，
f2 ：y=(x－2)2－5 (由開口方向相反確定的).
（1）當x≥0時，f1下降，
當x≤2時，f2下降，
∴當0≤x≤2時，曲線f1和f2都是下降的.
（2）求兩曲線的交點橫座標，
即解方程組
x2－2x－3=0 .
∴x=－1；或x=3.
∴當－1≤x ≤3時，曲線f1和f2圍成乙個封閉圖形.
(3)封閉圖形上，平行於y軸的線段的長度，
就是對應於同乙個橫座標，兩曲線上的點
的縱座標的差.
在區間 –1≤x ≤3內，
設f1 上的點p1(x,y1), f2 上的點p2(x,y2)，
求y1－y2的最大值，可用配方法：
y1－y2 ＝ (－x2+5)－[ (x－2)2－5]
＝－2x2+4x+6
＝－2(x－1)2+8.
∵－2<0， ∴y1－y2有最大值.
當x=1 時，y1－y2的值最大是8.
即線段長度的最大值是8.
例3. 畫函式y=的圖象.
解： 自變數x的取值範圍是全體實數，下面分割槽討論：
當x<－1 時， y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1；
當－1 ≤x<2時， y=x+1－(x－2)=3 ；
當x ≥2時， y=x+1+x－2=2x－1.
即y==
∴ 畫函式y=的圖象如下圖：
例4. 畫方程[x]2+[y]2=1 的圖象， [m] 表示不超過m 的最大整數.
(2023年徐州市初中數學競賽題).
解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，
∴[x]2≤1 .
∴ 0≤[x]2≤1.
∵[m] 表示不超過m 的最大整數，
∴當[x]2=0 [x]=00≤x≤1 .
當[x]2=1 [x]=
自變數x的取值範圍是：－1≤x<2.
如圖陰影部分的四個正方形，
就是所求方程的圖象.
只包括各正方形左、下邊界，
不包括各正方形右、上邊界.
例5. 直線y=x+m 與雙曲線y= 在第一象限相交點a，srt△aob=3.
1 求m的值 ；
②設直線與x 軸交於點c，求點c的座標；
③求s△abc.
解： ①設a座標為 (x, x+m).
∵ s△aob=ob×ba.
∴整理得∴m=6
② ∵直線與x 軸交於點c.
把y=0 代入y=x+6 得x=－6,
∴點c的座標是(－6，0)
③∵直線y=x+m 與雙曲線y= 在第一象限相交點a，
解方程組得
即點a的座標是 (－3+，3+).
∴bc==3+
∴s△abc= (3+)(3+)=12+3.
例6. 選擇題(只有乙個正大確的答案).
①函式y=kx+k與y= 在同一座標系中的圖象的大體位置是 ( )
② 函式 y=1－的圖象是
解：①常數k是同乙個值，.雙曲線y= 在
一、三象限，k>0, 那麼y=kx+k中，
當k>0時，直線上公升且在y軸上的截距為正. 所以應選 (d)；
②注意到y=1－中， 當x=0和x=1時 y有最大值1，故選 (a).
丙練習61
1. 填空：
1 橫座標為－2的點的集合，記作直線＿＿＿＿＿，縱軸記作直線＿＿＿＿＿＿，
橫軸記作直線＿＿＿＿＿，橫座標與縱座標互為相反數的點的集合是直線＿＿＿＿＿＿，
經過一、三象限，平分兩座標軸夾角的直線記作方程＿＿＿＿＿＿＿.
② 點p（x, y）關於橫軸的對稱點p1的座標是（ ），點p關於原點的對稱
點p2的座標是（ ）.
③ f：y=3(x－2)2+5,關於橫軸對稱的拋物線f1記作＿＿＿＿＿＿＿
f關於原點對稱的拋物線f2記作＿＿＿＿＿＿＿.
4 a（1，3）關於直線y=x的對稱點a，的座標是（ ）.
點b（－2，3）關於直線y=－x的對稱點b，的座標是（ ）.
2. 根據圖象位置判斷指定的常數的符號
1 直線y=kx+b經過
二、一、四象限，則k,b的符號是＿＿＿＿＿＿
2 拋物線y=ax2+bx+c的位置，如圖所示，試確定下列代數式的符號
ab______,c_______,
b2－4ac______,
______
_____
3. 選擇題（只有乙個正確的答案）
（1）下圖（1）是一次函式px+qy+r=0的圖象，下列條件正確的是（ ）.
（a）p=q, r=0 . (b) p=－q, r=0. (c)p=q, r=1. (d) p=－q, r=1.
（2）下圖（2）是二次函式y=ax2+bx+c的圖象，如下答案哪個正確？（ ）
（a）a+b+c=0. （b）a+b+c<0. （c）a+b+c>0. （d）a+b+c值不定.
1（3）二次函式y=a(x+m)2+n中，a>0 , m>0, n>0 它的圖象（ ）
(4)兩個一次函式y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那麼它們在同一座標系內的圖象大致為（ ）
（d）（5）在同一座標系內，y=ax+b與y=ax2+b的圖象大體位置是（ ）
(6)已知函式y+ax+b和y=ax2+bx+c那麼它們的圖象是（ ）
（2023年福建省初中數學競賽題）
4. 畫下列函式的圖象
①y=； ②y=； ③y=()2； ④ y=－.
5. 有m部同樣的機器，同時開始工作，需要m小時完成某項任務.設由x部機器完成某一任務，求所需的時間y(小時)與機器台數x(x為小於m的整數)的函式關係，並畫出當m=5時函式的圖象.
6. 畫如下方程、函式的圖象. ①；②y=x2－2|x|－3.
7. 這是一張追及圖看圖回答： ① 誰追及誰？
誰早出發，早幾小時？
甲、乙在這段路程速度各多少？
追的人從出發到追上，用了幾小時？走多少路程？
分別列出甲、乙兩人的路程y甲，y乙和時間x的函式關係的解析式.
8. 如圖，拋物線l1：y=ax2+2bx+c和拋物線l2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如圖所示.①.判斷哪條拋物線經過a、b、c三點，說明理由；
②.求出點b和點c的橫座標；
③.若ab＝bc，oc＝od，求a, b, c的值
9. 座標平面上，縱座標與橫座標都是整數的格點(整點)， 試在二次函式 y=
初中數學競賽輔導 61 函式的圖象
函式的圖象 內容提要 1.函式的圖象定義 在直角座標系中，以自變數x為橫座標和以它的函式y 的對應值為縱座標的點的集合，叫做函式y f x 的圖象.例如一次函式y kx b k,b 是常數，k 0 的圖象是一條直線l.1 l 上的任一點p0 x0,y0 的座標，適合等式y kx b,即y0 kx0 ...
初中數學競賽輔導
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初中數學競賽輔導
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