條件等式的證明
甲內容提要
1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允許值範圍內，用任何實數值代替它，等式都能成立,那麼這個等式叫做恒等式.
例如： ①a+b=b+a， ②(a+b)2=a2+2ab+b2 ， ③ x－= (x≠0)，
④ ()2=a (在實數範圍內a≥0)， ⑤=a(在實數範圍內n為正奇數).
都是恒等式.
只含常數的等式是恒等式的特例. 如：3－2=1， .
2. 條件等式：滿足一定條件下的等式，稱為條件等式. 方程是條件等式，解方程就是求出能滿足等式的條件(未知數的值).
3. 證明條件等式就是在題設的條件下，判斷恒等式.
4. 證明條件等式的方法，除和證明恒等式的一般方法(見第20講)以外，要特別注意如何把已知的條件用上. 一般有以下幾種：
1 用已知的條件直接代入(即等量代換).
2 變形後代入(包括把已知變形，或把結論變形).
3 引入引數後代入(包括換元).
5. 分式，根式在恒等變形時，要注意字母保持允許值的範圍不變.
乙例題例1. 已知：, , 且x+y+z≠0.
求證：.
分析：①設法化為同分母， ②輪換式可先代入一式，其餘的可用同型式
③用已知直接代入.
證明 ：∵.
根據輪換式的性質，得
∴=.例2. 已知：.
求證： (n是整數).
分析：先把已知變形，找出a, b, c之間的關係.
證明：由已知，去分母，得
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.
(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 .
(a+b)(b+c)(c+a)=0.
∴a=－b， 或b=－c， 或c=－a.
∵n 是整數， ∴2n+1是奇數.
當a=－b時 ，左邊= ；
右邊==.
即a=－b時，等式成立.
同理可證：當b=－c和c=－a時，等式也成立 .
∴(n為整數 ).
例3. 已知：ax3=by3=cz3, .
求證： .
證明：設ax3=by3=cz3= k . ( 引入引數)
那麼ax2=, by2=, cz2=. 代入左邊，
得 ： 左邊=；
而且 a=, b=, c=. 代入右邊，
得： 右邊= ()=.
∴.例4. 已知： abc ≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有兩個相等實根.
求證：分析：要等式成立，必須且只須ac－bc=ab－ac.
證明：∵方程有兩個相等的實數根，
∴△=0.
即 (bc－ab)2－4(ac－bc) (ab－ac)=0.
(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0， (添項ac－ac)
［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0.
∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0 .
∴bc－ac+ab－ac =0.
∴ ac－bc=ab－ac.
∵abc≠0，兩邊都除以abc,
得， .
例5. 已知：a+， a≠b≠c.
求證：a2b2c2=1.
證明：由已知a－b==,
∵ a ≠b，即a－b≠0，
∴bc=.
根據輪換式性質，得同型式： ca=, ab=.
∴ ab×bc×ca=××.
a2b2c2=1.
丙練習53
1. 已知： abc=1. 求證：
2. 已知： x=, y=, z=.
求證： (1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z).
3. 已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx－az)2=0 . 求證：.
4. 已知：. 求證： (a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).
5. 已知：.
求證：a+b+c=0 .
6. 已知：， a+b+c ≠0.
求證：.
7. 已知： 1949x2=1988y2 且， x>0, y>0.
求證：.
8. 已知：x=， 且a<0, b<0. 求證：.
9. 已知：x= (a>0,010. 求證： +=4
11. 已知：，，.
求證：.
12. 已知：a+b+c=0, a2+b2+c2=0, a3+b3+c3=0.
求證： a4+b4+c4=0.
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函式的圖象 甲內容提要 1.函式的圖象定義 在直角座標系中，以自變數x為橫座標和以它的函式y 的對應值為縱座標的點的集合，叫做函式y f x 的圖象.例如一次函式y kx b k,b 是常數，k 0 的圖象是一條直線l.1 l 上的任一點p0 x0,y0 的座標，適合等式y kx b,即y0 kx0...
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