經驗歸納法
內容提要
1．通常我們把「從特殊到一般」的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。
通過有限的幾個特例，觀察其一般規律，得出結論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經驗歸納法。例如
①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……，
歸納出 － 1 的奇次冪是－ 1，而－ 1 的偶次冪是 1 。
②由兩位數從10 到 99共 90 個（ 9 × 10 ），
三位數從 100 到 999 共900個（9×102），
四位數有9×103＝9000個（9×103），
…………
歸納出n 位數共有9×10n-1 (個)
3 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推斷出從1開始的n個連續奇數的和等於n2等。
可以看出經驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進的階梯。
2. 經驗歸納法是通過少數特例的試驗，發現規律，猜想結論，要使規律明朗化，必須進行足夠次數的試驗。
由於觀察產生的片面性，所猜想的結論，有可能是錯誤的，所以肯定或否定猜想的結論，都必須進行嚴格地證明。（到高中，大都是用數學歸納法證明）
例題例1 平面內n條直線，每兩條直線都相交，問最多有幾個交點？
解：兩條直線只有乙個交點1 2
第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個交點，得1＋2 3
第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個交點，得1＋2＋3
第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個交點，得1＋2＋3＋4
………第n條直線和前n－1條直線都相交，增加了n－1個交點
由此斷定n 條直線兩兩相交，最多有交點1＋2＋3＋……n－1（個），
這裡n≥2，其和可表示為［1+（n+1）］×, 即個交點。
例2．符號n！表示正整數從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如
5！＝1×2×3×4×5。試比較3n與（n+1）！的大小（n 是正整數）
解：當n ＝1時，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2
當n ＝2時，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6
當n ＝3時，3n＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24
當n ＝4時，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
當n ＝5時，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 ……
猜想其結論是：當n＝1，2，3時，3n＞（n＋1）！，當n>3時3n＜（n＋1）！。
例3 求適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解。
分析：這2003個正整數的和正好與它們的積相等，要確定每乙個正整數的值，我們採用經驗歸納法從2個，3個，4個……直到發現規律為止。
解：x1+x2=x1x2的正整數解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整數解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想結論是：適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解為x1=x2=x3＝……=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。
練習14
1． 除以3餘1的正整數中，一位數有＿＿個，二位數有＿＿個，三位數有＿＿個，n位數有＿＿＿＿個。
2． 十進位制的兩位數可記作10a1＋a2,三位數記作100a1+10a2+a3,四位數記作＿＿＿＿，n位數＿＿＿記作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n32。
4． 用經驗歸納法猜想下列各數的結論（是什麼正整數的平方）
①＝（＿＿＿）2；；－＝（ ＿＿）2。
②＝（＿＿＿＿）2；＝（＿＿＿）2
5． 把自然數1到100乙個個地排下去：123……91011……99100
1 這是乙個幾位數？②這個數的各位上的各個數字和是多少
6．計算＋＋＋…＋＝
（提示把每個分數寫成兩個分數的差）
7．a是正整數，試比較aa+1和(a+1)a的大小.
8．. 如圖把長方形的四條邊塗上紅色，然
後把寬3等分，把長8等分，分成24個
小長方形，那麼這24個長方形中，
兩邊塗色的有＿＿個，一邊塗色的有＿＿個，四邊都不著色的有＿＿個。
本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大於1的自然數)那麼這mn個長方形中，兩邊塗色的
有＿＿個，一邊塗色的有＿＿個，四邊都不著色的有＿＿個
9．把表面塗有紅色的正方體的各稜都4等分，切成64個小正方體，那麼這64個中，三面塗色的
有＿＿個，兩面塗色的有＿＿＿個，一面塗色的有＿＿＿個，四面都不塗色的有＿＿＿＿個。
本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分，（m,n,p都是大於2的自然數）那麼這mnp個正方體中，三面塗色的有＿＿＿個，兩面塗色的有＿＿＿個，一面塗色的有＿＿＿＿個，四面都不塗色的有＿＿個。
10．乙個西瓜按橫，縱，垂直三個方向各切三刀，共分成＿＿＿塊，其中不帶皮的有＿＿塊。
11．已知兩個正整數的積等於11112222，它們分別是＿＿＿，＿＿＿。
初中數學競賽輔導14
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