例2. 把多項式x3－x2+2x+2表示為關於x－1的降冪排列形式.
解：用待定係數法：
設x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d
把右邊展開，合併同類項（把同類項對齊），
得 x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a
bx2－2bx+b
cx－c
d 用恒等式的性質，比較同類項係數，
得解這個方程組，得
∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.
本題也可用換元法：
設x－1=y, 那麼x=y+1.
把左邊關於x的多項式化為關於y 的多項式，最後再把y換成x －1.
例3. 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.
求： a和b的值.
解：設4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2 （設待定的係數，要盡可能少.）
右邊展開，合併同類項，得
4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.
比較左右兩邊同類項係數，得
方程組； 或.
解得.例4. 推導一元三次方程根與係數的關係.
解：設方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三個根分別為x1, x2, x3.
原方程化為x3+.
∵x1, x2, x3是方程的三個根.
∴x3+ (x－x1) (x－x2) (x－x3).
把右邊展開，合併同類項，得
x3+=x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.
比較左右同類項的係數，得
一元三次方程根與係數的關係是：
x1+x2+x3=－， x1x2+x1x3+x2x3＝， x1x2x3＝－.
例5. 已知：x3+px+q 能被（x－a）2 整除.
求證：4p3+27q2=0.
證明：設x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.
x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.
由①得b=2a， 代入②和③得
∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2
=4×（－27a6）+27×（4a6）=0. （證畢）.
例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5
的因式.
求：f (1)的值.
解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它們的和、差、倍也能被f (x)整除.
為了消去四次項，設g (x)－q (x)＝kf (x), (k為正整數).
即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c)
14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c)
∴k=14, b=－2, c=5.
即f (x)=x2－2x+5.
∴f (1)=4 .
例7. 用待定係數法，求（x+y）5 的展開式
解：∵展開式是五次齊次對稱式，
∴可設（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a, b, c是待定係數.)
當 x=1,y=0時， 得a=1；
當 x=1,y=1時， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16
當 x=－1,y=2時， 得31a－14b+4c=1.
得方程組
解方程組，得
∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
丙練習51
1. 已知. 求a, b的值.
2. 已知：. 求：a，b，c的值.
3. 已知： x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式.
求：這個代數式的算術平方根.
4. 已知：ax3+bx2+cx+d 能被x2+p整除.
求證：ad=bc.
5. 已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3)
=b(x－1)(x－2)(x－3)
c(x－1)(x+1)(x－3)
=d(x－1)(x+1)(x－2).
求：a+b+c+d的值.
6. 試用待定係數法，證明一元二次方程根與係數的關係（即韋達定理）.
7. 用x－2的各次冪表示3x3－10x2+13.
8. k取什麼值時，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解為兩個一次因式..
9. 分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3；
②x4+1987x2+1986x+1987.
10. 求下列展開式：
① (x+y)6a+b+c)3.
11. 多項式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的結果是( )
(a) (x+y)(y－z)(x－zb) (x+y)(y+z)(x－z).
(c) (x－y)(y－z)(x+zd) (x－y)(y+z)(x+z).
12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, 若s=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3.
則s等於( )
(a) (x－2)4 . (b) (x－1)4 . (c) x4 . (d) (x+1)4.
(2023年泉州市初二數學雙基賽題)
13． 已知：的值是恒為常數求：a, b, c的值.
初中數學競賽輔導
函式的圖象 甲內容提要 1.函式的圖象定義 在直角座標系中，以自變數x為橫座標和以它的函式y 的對應值為縱座標的點的集合，叫做函式y f x 的圖象.例如一次函式y kx b k,b 是常數，k 0 的圖象是一條直線l.1 l 上的任一點p0 x0,y0 的座標，適合等式y kx b,即y0 kx0...
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初中數學競賽輔導
初中數學競賽輔導資料 2 倍數約數 甲內容提要 1兩個整數a和b b 0 如果b能整除a 記作b a 那麼a叫做b的倍數，b叫做a的約數。例如3 15，15是3的倍數，3是15的約數。2因為0除以非0的任何數都得0，所以0被非0整數整除。0是任何非0整數的倍數，非0整數都是0的約數。如0是7的倍數，...