蘭州成功私立中學高中奧數輔導資料
（內部資料）
§17二項式定理與多項式
1．二項工定理
2．二項展開式的通項
它是展開式的第r+1項.
3．二項式係數
4．二項式係數的性質
（1）（2）
（3）若n是偶數，有，即中間一項的二項式係數最大.
若n是奇數，有，即中項二項的二項式係數相等且最大.
（4）（5）
（6）（7）
（8） 以上組合恒等式（是指組合數滿足的恒等式）是證明一些較複雜的組合恒等式的基
本工具.（7）和（8）的證明將在後面給出.
5．證明組合恒等式的方法常用的有
（1）公式法，利用上述基本組合恒等式進行證明.
（2）利用二項式定理，通過賦值法或構造法用二項式定理於解題中.
（3）利用數學歸納法.
（4）構造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合應用問題的解決方法.
例題講解
1．求的展開式中的常數項.
2．求的展開式裡x5的係數.
3．已知數列滿足求證：對於任何自然數n，
是x的一次多項式或零次多項式.
4．已知a，b均為正整數，且求證：對一切，an均為整數.
5．已知為整數，p為素數，求證：
6．若，求證：
7．數列中，，求的末位數字是多少？
8．求n=1988－1的所有形如為自然數）的因子d之和.
9．設，求數x的個位數字.
10．已知試問：在數列中是否有無窮多個能被15整除的項？證明你的結論.
課後練習
1．已知實數均不為0，多項的三根為，求
的值.2．設，其中為常數，如果求的值.
3．定義在實數集上的函式滿足：
4．證明：當n=6m時，
5．設展開式為，求證：
6．求最小的正整數n，使得的展開式經同類項合併後至少有1996項.
7．設，試求：
（1）的展開式中所有項的係數和.
（2）的展開式中奇次項的係數和.
8．證明：對任意的正整數n，不等式成立.
例題答案：
1.解：由二項式定理得
①其中第項為 ②
在的展開式中，設第k+1項為常數項，記為
則 ③
由③得r－2k=0，即r=2k，r為偶數，再根據①、②知所求常數項為
評述：求某一項時用二項展開式的通項.
2. 解：因為
所以的展開式裡x5的係數為
評述：本題也可將化為用例1的作法可求得.
3. 分析：由是等差數列，則從而可將表示成的表示式，再化簡即可.
解：因為所以數列為等差數列，設其公差為d
有從而由二項定理，知
又因為從而
所以當的一次多項式，當零次多項式.
4. 分析：由聯想到複數棣莫佛定理，複數需要，然後分析an與複數的關係.
證明：因為
顯然的虛部，由於
所以從而的虛部.
因為a、b為整數，根據二項式定理，的虛部當然也為整數，所以對一切，an為整數.
評述：把an為與複數聯絡在一起是本題的關鍵.
5. 證明：
由於為整數，可從分子中約去r！，又因為p為素數，且，所以分子中的p不會紅去，因此有所以
評述：將展開就與有聯絡，只要證明其餘的數能被p整除是本題的關鍵.
6. 分析：由已知猜想，因此需要求出，即只需要證明為正整數即可.
證明：首先證明，對固定為r，滿足條件的是惟一的.否則，設
則矛盾.所以滿足條件的m和是惟一的. 下面求.
因為又因為所以故評述：猜想進行運算是關鍵.
7. 分析：利用n取1，2，3，…猜想的末位數字.
解：當n=1時，a1=3，
，因此的末位數字都是7，猜想， 現假設n=k時，
當n=k+1時，
從而於是故的末位數字是7.
評述：猜想是關鍵.
8. 分析：尋求n中含2和3的最高冪次數，為此將19變為20－1和18+1，然後用二項式定理展開.
解：因為n=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1
=－ 其中m是整數.
上式表明，n的素因數中2的最高次冪是5. 又因為n=(1+2×9)88－1
=32×2×88+34·p=32×（2×88+9p）其中p為整數.
上式表明，n的素因數中3的最高次冪是2.
綜上所述，可知，其中q是正整數，不含因數2和3.
因此，n中所有形如的因數的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.
9. 分析：直接求x的個位數字很困難，需將與x相關數聯絡，轉化成研究其相關數.
解：令，由二項式定理知，對任意正整數n.
為整數，且個位數字為零.
因此，x+y是個位數字為零的整數.再對y估值，
因為， 且，
所以故x的個位數字為9.
評述：轉化的思想很重要，當研究的問題遇到困難時，將其轉化為可研究的問題.
10. 分析：先求出，再將表示成與15有關的表示式，便知是否有無窮多項能被15整除.
證明：在數列中有無窮多個能被15整除的項，下面證明之.
數列的特徵方程為它的兩個根為，
所以 （n=0，1，2，…）
由則取，由二項式定理得
由上式知當15|k，即30|n時，15|an，因此數列中有無窮多個能被15整除的項.
評述：在二項式定理中，經常在一起結合使用
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