蘭州成功私立中學高中奧數輔導資料
（內部資料）
§28高斯函式
數論函式，稱為高斯函式，又稱取整函式. 它是數學競賽熱點之一.
定義一：對任意實數是不超過的最大整數，稱為的整數部分.與它相伴隨的是小數部分函式
由、的定義不難得到如下性質：
（1）的定義域為r，值域為z；的定義域為r，值域為（2）對任意實數，都有.
（3）對任意實數，都有.
（4）是不減函式，即若則，其影象如圖i －4－5－1；
是以1為週期的週期函式，如圖i －4－5－2.
圖ⅰ—4—5—1圖ⅰ—4—5—2
（5）.其中.
（6）；特別地，
（7），其中；一般有；特別地，
.（8），其中.
例題講解
1．求證：其中k為某一自然數.
2．對任意的
3．計算和式
4．設m為一正整數，問方程，在[1，m]中有多少個解？
5．求方程
6． 7．對自然數n及一切自然數x，求證：
.8．求出的個位數字
例題答案：
1．證明：2為質數，n!中含2的方次數為若故反之，若n不等於2的某個非負整數次幕，可設n=2sp，其中p>1為奇數，這時總可以找出整數t，使
由於n!.這與已知矛盾，故必要性得證.
2．解：因對一切k=0,1,…成立，因此，又因為n為固定數，當k適當大
時, 3．解：顯然有：若
503是乙個質數，因此，對n=1,2,…,502,都不會是整數，但+可見此式左端的兩數的小數部分之和等於1，於是，+故4．解：顯然x=m是乙個解,下面考察在[1，m]中有少個解.
設x是方程的解.將代入原方程，化簡得
所以上式成立的充要條件是2[x]為乙個整數.
5．解：
經檢驗知，這四個值都是原方程的解.
6．這道題的原解答要極為複雜，現用數學歸納法證明如下.
【證明】
由於7．解：m＝|f(x)|max＝max⑴若|－|≥1 (對稱軸不在定義域內部)則m＝max
而f⑴＝1＋a＋b
f(－1)＝1－a＋b
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4則|f⑴|和|f(－1)|中至少有乙個不小於2∴ m≥2＞
⑵|－|＜1
m＝max
＝max
＝max
≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝ ≥
綜上所述，原命題正確.
8．先找出的整數部分與分數部分.
=其中分母的個位數字為3，分子的個位數字為9，故商的個位數字為3.
2019高中數學奧數培訓之整除
蘭州成功私立中學高中奧數輔導資料 內部資料 26整除 整除是整數的乙個重要內容，這裡僅介紹其中的幾個方面 整數的整除性 最大公約數 最小公倍數 方冪問題.整數的整除性 初等數論的基本研究物件是自然數集合及整數集合.我們知道，整數集合中可以作加 減 乘法運算，並且這些運算滿足一些規律 即加法和乘法的結...
2019高中數學奧數培訓之遞推數列
蘭州成功私立中學高中奧數輔導資料 內部資料 12遞推數列 1 概念 遞迴式 乙個數列中的第項與它前面若干項，的關係式稱為遞迴式。遞迴數列 由遞迴式和初始值確定的數列成為遞迴數列。2 常用方法 累加法，迭代法，代換法，代入法等。3 思想策略 構造新數列的思想。4 常見型別 型別 一階遞迴 其特例為 1...
2019高中數學奧數培訓之不等式的證明二
蘭州成功私立中學高中奧數輔導資料 內部資料 14不等式的證明 不等式在數學中占有重要地位，由於其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下 不等式的性質 這是不等式的定義，...