最新高考數學總複習 10-7 二項式定理(理) 新人教b版
1.(2011·三門峽模擬)若二項式(－)n的展開式中第5項是常數項，則自然數n的值可能為( )
a．6 b．10
c．12 d．15
[答案] c
[解析] ∵t5＝c ()n－4·(－)4＝24·cx是常數項，∴＝0，∴n＝12.
2．(2011·北京模擬)(x2－)n的展開式中，常數項為15，則n＝( )
a．3 b．4
c．5 d．6
[答案] d
[解析] tr＋1＝c (x2)n－r·(－)r
＝(－1)r·cx2n－3r，令2n－3r＝0得，r＝，
∴n能被3整除，結合選項，當n＝3時，r＝2，此時常數項為(－1)2·c＝3，不合題意，當n＝6時，r＝4，常數項為(－1)4c＝15，∴選d.
3．(2011·煙台月考)如果(3x－)n的展開式中二項式係數之和為128，則展開式中的係數是( )
a．7 b．－7
c．21 d．－21
[答案] c
[解析] ∵2n＝128，∴n＝7，
∴tr＋1＝c (3x)7－r·(－)r
＝(－1)r·37－r·c·x，令7－＝－3得r＝6，
∴的係數為(－1)6·3·c＝21.
4．(2011·重慶理，4)(1＋3x)n(其中n∈n且n≥6)的展開式中x5與x6的係數相等，則n＝( )
a．6 b．7
c．8 d．9
[答案] b
[解析] 展開式通項：tr＋1＝c (3x)r＝3rcxr
由題意：35c＝36c即c＝3c，
∴＝∴＝
∴n＝7.選b.
5．(2011·銀川模擬)在(－)n的展開式中，只有第5項的二項式係數最大，則展開式中常數項是( )
a．－7 b．7
c．－28 d．28
[答案] b
[解析] 由條件知n＝8，∴tr＋1＝c ()8－r·(－)r
＝(－1)r·2r－8·c·x
令8－＝0得，r＝6，
∴展開式的常數項為(－1)6·26－8·c＝7.
6．(2011·河北石家莊一模)多項式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為( )
a．10 b．45
c．－9 d．－45
[答案] b
[解析] x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋c (x－1)＋c (x－1)2＋…＋c (x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10對任意實數x都成立，∴a8＝c＝c＝45.
7．(2011·廣東理，10)x(x－)7的展開式中，x4的係數是用數字作答)
[答案] 84
[解析] x4的係數，即(x－)7展開式中x3的係數，
tr＋1＝c·x7－r·(－)r
＝(－2)r·c·x7－2r，
令7－2r＝3得，r＝2，
∴所求係數為(－2)2c＝84.
8．(2011·廣東六校聯考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，則a0＋a1＋a2＋…＋a8
[答案] 256
[解析] (x－a)8的展開式的通項公式為
tr＋1＝c·x8－r·(－a)r＝(－1)rc·ar·x8－r，
令8－r＝5，則r＝3，
於是a5＝(－1)3c·a3＝56，解得a＝－1，
即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.
9．若6的二項展開式中，x3的係數為，則二項式係數最大的項為
[答案] x3
[解析] ∵tr＋1＝c (x2)6－rr＝ca－rx12－3r，
令12－3r＝3，得r＝3，∴ca－3＝，解得a＝2.
故二項式係數最大的項為t4＝c (x2)3()3＝x3.
10．(2011·上海十三校第二次聯考)在二項式(＋)n的展開式中，各項係數之和為a，各項二項式係數之和為b，且a＋b＝72，則n
[答案] 3
[解析] 由題意可知，b＝2n，a＝4n，由a＋b＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.
11.已知xy<0，且x＋y＝1，而(x＋y)9按x的降冪排列的展開式中，第二項不大於第三項，那麼x的取值範圍是( )
a. b.
c．(1d.
[答案] b
[解析] 由題設條件知，cx8y≤cx7y2，
∵xy<0，∴x≥4y，
∵x＋y＝1，∴x≥4(1－x)，∴x≥.
12．(2011·新課標全國理，8)(x＋)(2x－)5的展開式中各項係數的和為2，則該展開式中常數項為( )
a．－40 b．－20
c．20 d．40
[答案] d
[解析] 因(x＋)(2x－)5的展開式中各項係數和為2，即令x＝1時，(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.
∵(2x－)5展開式的通項為tr＋1＝c·(2x)5－r·(－)r＝(－1)r·25－r·c·x5－2r，當5－2r＝－1或1時r＝3或2，此時展開式為常數項，∴展開式的常數項為(－1)3·25－3·c＋(－1)2·25－2·c＝40.
13．(2011·安徽宣城模擬)在(x－2)5(＋y)4的展開式中x3y2的係數為________．
[答案] 480
[解析] (x－2)5的展開式的通項為tr＋1＝cx5－r(－2)r，
令5－r＝3得r＝2，得x3的係數c (－2)2＝40；
(＋y)4的展開式的通項公式為tr＋1＝c ()4－ryr，
令r＝2得y2的係數c ()2＝12，
於是展開式中x3y2的係數為40×12＝480.
14．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展開式中，含x4的項的係數是________．
[答案] －15
[解析] 從4個因式中選取x，從餘下的乙個因式中選取常數，即構成x4項，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4項的係數應是－1－2－3－4－5＝－15.
15．(2011·安徽理，12)設(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11
[答案] 0
[解析] a10＝c (－1)11＝－c，a11＝c (－1)10＝c，所以a10＋a11＝c－c＝c－c＝0.
16．已知數列滿足an＝n·2n－1(n∈n*)，是否存在等差數列，使an＝b1c＋b2c＋b3c＋…＋bnc對一切正整數n成立？並證明你的結論．
[解析] 假設等差數列使等式n·2n－1＝b1c＋b2c＋b3c＋…＋bnc對一切正整數n成立，
當n＝1時，得1＝b1c，∴b1＝1，當n＝2時，得4＝b1c＋b2c，∴b2＝2，當n＝3時，得12＝b1c＋b2c＋b3c，∴b3＝3，可猜想bn＝n時，n·2n－1＝c＋2c＋3c＋…＋nc.
∵kc＝k·
＝n·＝nc.
∴c＋2c＋3c＋…＋nc＝n(c＋c＋…＋c)＝n·2n－1.故存在等差數列(bn＝n)，使已知等式對一切n∈n*成立．
1．(2010·浙江嘉興質檢)若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，則a1的值為( )
a．80 b．40
c．20 d．10
[答案] a
[解析] 由於x＋1＝x－1＋2，因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展開式中x－1的係數為c24＝80.
2．(2011·遼寧瀋陽質檢)若(3x－)n展開式中各項係數之和為32，則該展開式中含x3的項的係數為( )
a．－5 b．5
c．－405 d．405
[答案] c
[解析] 令x＝1得2n＝32，所以n＝5，
於是(3x－)5展開式的通項為
tr＋1＝(－1)rc (3x)5－r()r＝(－1)rc35－rx5－2r，
令5－2r＝3，得r＝1，
於是展開式中含x3的項的係數為
(－1)1c34＝－405，故選c.
3．設(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為( )
a．－2 b．－1
c．1 d．2
[答案] a
[解析] 依題意，令x＋2＝1，等式右邊為a0＋a1＋a2＋…＋a11.把x＝－1代入等式左邊，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
4．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，則a0＋a1＋2a2＋3a3
[答案] 5
[解析] 法1：令x＝－2得a0＝－1.
令x＝0得27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3.
因此a1＋2a2＋4a3＝14.
∵c (2x)3·30＝a3·x3.
∴a3＝8.
∴a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6.
∴a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5.
法2：由於2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3
＝8(x＋2)3－4c (x＋2)2＋2c (x＋2)－1，
故a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1.
故a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6－24＋24＝5.
5．(2010·重慶中學)已知6展開式中x6項的係數為60，其中a是小於零的常數，則展開式中各項的係數之和是________．
[答案] 1
[解析] 6展開式中的第r＋1項
tr＋1＝c (x2)6－r·r＝arcx12－3r，
令12－3r＝6得，r＝2，∴a2c＝60，∴a2＝4.
∵a<0，∴a＝－2，
令x＝1得展開式各項係數之和為6＝1.
6．(2010·聊城市模擬)將n(n∈n*)的展開式中x－4的係數記為an，則
[答案]
[解析] 第r＋1項tr＋1＝c·r
＝(－1)rcx－2r，令－2r＝－4，∴r＝2，
∴an＝(－1)2c＝，
＝2×＝2×＝.
二項式定理
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