一. 填空題
1．設 , 則a
解. 可得 = , 所以 a = 2.
2解.< <所以 < <
, (n→∞)
, (n→∞)
所以 =
3. 已知函式 , 則f[f(x
解. f[f(x)] = 1.
4解.= 5解. 6. 已知 (≠ 0 ≠ ∞), 則ak
解. 所以 k－1=1990, k = 1991;
二. 單項選擇題
1. 設f(x)和(x)在(－∞, +∞)內有定義, f(x)為連續函式, 且f(x) ≠ 0, (x)有間斷點, 則
(a) [f(x)]必有間斷點 (b) [ (x)]2必有間斷點 (c) f [(x)]必有間斷點 (d) 必有間斷點
解. (a) 反例 , f(x) = 1, 則[f(x)]=1
(b) 反例 , [ (x)]2 = 1
(c) 反例 , f(x) = 1, 則f [(x)]=1
(d) 反設 g(x) = 在(－∞, +∞)內連續, 則(x) = g(x)f(x) 在(－∞, +∞)內連續, 矛盾. 所以(d)是答案.
2. 設函式 , 則f(x)是
(a) 偶函式 (b) 無界函式 (c) 週期函式 (d) 單調函式
解. (b)是答案.
3. 極限的值是
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在
解. = , 所以(b)為答案.
4. 設 , 則a的值為
(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不對
解. 8 = =
= , , 所以(c)為答案.
5. 設 , 則α, β的數值為
(a) α = 1, β = (b) α = 5, β = (c) α = 5, β = (d) 均不對
解. (c)為答案.
6. 設 , 則當x→0時
(a) f(x)是x的等價無窮小 (b) f(x)是x的同階但非等價無窮小
(c) f(x)比x較低價無窮小 (d) f(x)比x較**無窮小
解. = , 所以(b)為答案.
7. 設 , 則a的值為
(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3
解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)為答案.
8. 設 , 則必有
(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c
解. 2 = = , 所以a =－4c, 所以(d)為答案.
1. 求下列極限
(1)解. (2)
解. 令
= (3)
解. =
= = .
2. 求下列極限
(1)解. 當x→1時, , . 按照等價無窮小代換
(2)解. 方法1：
= == == =
= =
方法2：
= == == =
= 3. 求下列極限
(1)解.
(2)解.
(3) , 其中a > 0, b > 0
解.= 4. 求下列函式的間斷點並判別型別
(1)解. ,
所以x = 0為第一類間斷點.
(2)解.
顯然 , 所以x = 1為第一類間斷點;
, 所以x = －1為第一類間斷點.
(3)解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0為第一類跳躍間斷點;
不存在. 所以x = 1為第二類間斷點;
不存在, 而 ,所以x = 0為第一類可去間斷點;
, (k = 1, 2, …) 所以x = 為第二類無窮間斷點.
5. 設 , 且x = 0 是f(x)的可去間斷點. 求α, β.
解. x = 0 是f(x)的可去間斷點, 要求
存在. 所以
. 所以
0 == 所以α = 1.
=上式極限存在, 必須 .
6. 設 , b ≠ 0, 求a, b的值.
解. 上式極限存在, 必須a = (否則極限一定為無窮). 所以
= . 所以 .
7. 討論函式在x = 0處的連續性.
解. 當時
不存在, 所以x = 0為第二類間斷點;
當時, 所以時,在 x = 0連續, 時, x = 0為第一類跳躍間斷點.
8. 設f(x)在[a, b]上連續, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (i = 1, 2, 3, …, n)為任意正數, 則在(a, b)內至少存在乙個ξ, 使 .
證明: 令m = , m = . 不妨假定
所以 m ≤ ≤ m
所以存在ξ( a < x1 ≤ ξ ≤ xn < b), 使得
9. 設f(x)在[a, b]上連續, 且f(a) < a, f(b) > b, 試證在(a, b)內至少存在乙個ξ, 使f(ξ) = ξ.
證明: 假設f(x) = f(x)－x, 則f(a) = f(a)－a < 0, f(b) = f(b)－b > 0
於是由介值定理在(a, b)內至少存在乙個ξ, 使f(ξ) = ξ.
10. 設f(x)在[0, 1]上連續, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 試證在[0, 1]內至少存在乙個ξ, 使f(ξ) = ξ.
證明: (反證法) 反設 . 所以恆大於0或恆小於0. 不妨設 . 令 , 則 .
因此 . 於是 , 矛盾. 所以在[0, 1]內至少存在乙個ξ, 使f(ξ) = ξ.
11. 設f(x), g(x)在[a, b]上連續, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 試證在(a, b)內至少存在乙個ξ, 使
f(ξ) = g(ξ).
證明: 假設f(x) = f(x)－g(x), 則f(a) = f(a)－g(a) < 0, f(b) = f(b)－g(b) > 0
於是由介值定理在(a, b)內至少存在乙個ξ, 使f(ξ) = ξ.
12. 證明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)內至少有乙個實根.
證明: 令f(x) = x5－3x－2, 則f(1) =－4 < 0, f(2) = 24 > 0
所以在(1, 2)內至少有乙個ξ, 滿足f(ξ) = 0.
13. 設f(x)在x = 0的某領域內二階可導, 且 , 求及 .
解. . 所以
. f(x)在x = 0的某領域內二階可導, 所以在x = 0連續. 所以f(0) = －3. 因為
, 所以 , 所以
=由 , 將f(x)泰勒展開, 得
, 所以 , 於是
.(本題為2023年教材中的習題, 2023年教材中沒有選入. 筆者認為該題很好, 故在題解中加入此題)
第一講函式極限連續1003
一 考試要求 1 理解函式的概念，掌握函式的表示方法，會建立應用問題的函式關係。2 了解函式的奇偶性 單調性 週期性和有界性。3 理解復合函式及分段函式的概念，了解反函式及隱函式的概念。4 掌握基本初等函式的性質及其圖形，了解初等函式的概念。5 理解 了解 極限的概念，理解 了解 函式左 右極限的概...
第一章函式 極限與連續小結
小結一 概念部分 1 函式的概念 復合函式和初等函式的概念 2 函式極限的定義 無窮大量與無窮小量的概念 極限的法則 兩個重要極限 3 函式連續的概念 連續的判斷 間斷點的判斷與分類 初等函式的連續性 閉區間上連續函式的性質。二 運算部分 1 求極限 1 利用極限的四則運算法則 2 對於分式的極限，...
第2章函式的極限與連續
極限概念是深入研究函式變化性態的乙個最基本概念，極限方法是數學中最重要的一種思想方法，是微積分學的基礎 極限的概念源於實際的問題，包括區域的面積 曲線切線的斜率 變速直線運動的速度 無窮級數的和等 本節主要介紹極限的概念 性質及計算方法 2.1 數列的極限 2.1.1 利用割圓術求圓的面積 由於在很...