第一節函式
一、 函式內容網路圖
二、內容與要求
1.理解函式的概念，掌握函式的表示法，並會函式關係的建立。
2.了解函式的有界性、單調性、週期性和奇偶性.
3.理解復合函式及分段函式的概念，了解反函式及隱函式的概念.
4.掌握基本初等函式的性質及其圖形，了解初等函式的概念.
重點函式的概念、復合函式及分段函式的概念、反函式的概念、基本初等函式的性質及其圖形、初等函式的概念.
難點函式的概念、復合函式、分段函式、反函式
三、概念、定理的理解與典型錯誤分析
1．函式的概念
定義1.1:設a、b是兩個非空實數集，如果存在乙個對應法則f，使得對a中任何乙個實數x，在b中都有唯一確定的實數y與x對應，則稱對應法則f是a上的函式，記為
.y稱為x對應的函式值，記為.
其中x叫做自變數，y又叫因變數，a稱為函式f的定義域，記為d（f），, 稱為函式的值域，記為r（f），在平面座標系oxy下，集合稱為函式y=f(x)的圖形。函式是微積分中最重要最基本的乙個概念，因為微積分是以函式為研究物件，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數學學科。
（1）由確定函式的因素是定義域、對應法則及值域，而值域被定義域和對應法則完全確定，故確定函式的兩要素為定義域和對應法則。從而在判斷兩個函式是否為同一函式時，只要看這兩個函式的定義域和對應法則是否相同，至於自變數、因變數用什麼字母，函式用什麼記號都是無關緊要的。
（2）函式與函式表示式的區別：函式表示式指的是解析式子，是表示函式的主要形式，而函式除了用表示式來表示，還可以用**法、圖象法等形式來表示，不要把函式與函式表示式等同起來。
2．反函式
定義1.2 設y=f(x)，，若對r(f)中每乙個y，都有唯一確定且滿足y=f(x)的與之對應，則按此對應法則就能得到乙個定義在r（f）上的函式，稱這個函式為f的反函式，記作
.由於習慣上用x表示自變數，y表示因變數，所以常把上述函式改寫成.
（1）由函式、反函式的定義可知，反函式的定義域是原來函式的值域，值域是原來函式的定義域。
（2） 函式y=f(x)與x=f-1(y)的圖象相同，這因為滿足y=f(x)點（x,y）的集合與滿足x=f-1(y)點(x,y)的集合完全相同，而函式y=f(x)與y=f-1(x)圖象關於直線y=x對稱。
（3）若y=f(x)的反函式是x=f-1(y)，則
（4）定理1.1（反函式存在定理）嚴格增（減）的函式必有嚴格增（減）的反函式。
3．復合函式
定義1.3 設，若，則y通過u構成x的函式，稱為由y=f(u)與復合而成的函式，簡稱為復合函式，記作。
復合函式的定義域為，其中x稱為自變數，y稱為因變數，u稱為中間變數，稱為內函式，f(u)稱為外函式。
（1）在實際判斷兩個函式能否構成復合函式，只要看的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構成復合函式，否則不能復合函式。
（2）在求復合函式時，只要指出誰是內函式，誰是外函式，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作為外函式，y=g(x)作為內函式。則復合函式，若作為外函式，作為內函式，則復合函式為y=g(f(x))。
（3）我們要學會分析復合函式的復合結構，既要會把幾個函式復合成乙個復合函式，又要會把乙個復合函式分拆成幾個函式的復合。
4. 初等函式
常值函式、冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式統稱為基本初等函式。
大家一定要記住基本初等函式的定義域，值域，會畫它們的圖象，並且要知道這些函式在哪些區間遞增，在哪些區間遞減，是否經過原點？與座標軸的交點是什麼？以後我們常常要用到。
由基本初等函式經過有限次四則運算或有限次復合運算所得到的函式統稱為初等函式。
不是初等函式稱為非初等函式。
一般來說，分段函式不是初等函式，但有些分段函式可能是初等函式，例如
，是由復合而成。
5. 具有某些特性的函式
（1）奇（偶）函式
定義1.4 設d是關於原點對稱的數集，y=f(x)為定義在d上的函式，若對每乙個，都有，則稱y=f(x)為d上的奇（偶）函式。
（ⅰ）定義域關於原點對稱是函式為奇（偶）函式的必要條件。
（ⅱ）若f(x)為奇函式，則f(0)=0，事實上，由定義知f(-0)=-f(0)，有f(0)=-f(0)，得f(0)=0.
（2）週期函式
定義1.5 設y=f(x)為定義在d上的函式，若存在某個非零常數t，使得對一切，都有
f(x+t)=f(x)，則稱y=f(x)為週期函式，t稱為y=f(x)的乙個週期。
顯然，若t是f(x)的週期，則也是f（x）的週期，若週期函式f(x)的所有正週期中存在最小正週期，則稱這個最小正週期為f(x)的基本週期，一般地，函式的週期是指的是基本週期。
必須指出的是不是所有的週期函式都有最小正週期，例如f(x)=c（c為常數），因為對任意的實常數t，都有f(x+t)=f(x)=c。所以f(x)=c是週期函式，但在實數裡沒有最小正常數，所以，週期函式f(x)=c沒有最小正週期。
如果f(x)為週期函式，且週期為t，任給，有f(x)=f(x+kt)，知。所以d是無窮區間，即無窮區間是週期函式的必要條件。
（3）單調函式
定義1.6 設y=f(x)為定義在d上的函式，若對d中任意兩個數x1,x2且x1
，則稱y=f(x)為d上的遞增（遞減）函式，特別地，若總成立嚴格不等式
，則稱y=f(x)為d上嚴格遞增（遞減）函式。
遞增和遞減函式統稱為單調函式，嚴格遞增和嚴格遞減函式統稱為嚴格單調函式。
（4）分段函式
如果乙個函式在其定義域內，對應於不同的x範圍有著不同的表達形式，則稱該函式為分段函式。
注意分段函式不是由幾個函式組成的，而是乙個函式，我們經常構造分段函式來舉反例，常見的分段函式有符號函式、狄里克雷函式、取整函式。
（5）有界函式與無界函式
定義1.7 設y=f(x)為定義在d上的函式，若存在常數n≤m，使對每乙個，都有
則稱f(x)為d上的有界函式，此時，稱n為f(x)在d上的乙個下界，稱m為f(x)在d上的乙個上界。
由定義可知上、下界有無數個，我們也可寫成如下的等價定義，使用更加方便。
定義設y=f(x)為定義在d上的函式，若存在常數m>0，使得對每乙個，都有
則f(x)為d上的有界函式。
幾何意義，若f(x)為d上的有界函式，則f(x)的圖象完全落在直線y=-m與y=m之間。
注意：直線y=-m，y=m不一定與曲線相切。有界函式定義的反面是
定義1.8 設y=f(x)為定義在d上的函式，若對每乙個正常數m（無論m多麼大），都存在，使，則稱f(x)為d上的無界函式。
（6）函式的延拓與分解
有時我們需要由已知函式產生新的函式來解決實際問題，這裡我們從函式的特性出發，開拓由已知產生新的函式的方法。
設，我考慮區間[-a,a]上的函式f(x)，它是偶函式，且在[0,a]上，使f(x)=f(x)，則應有
稱f（x）是f(x)的偶延拓
同樣可給出f(x)的奇延拓，即函式f（x）在[-a,a]上的奇函式，且在（0,a）上，f（x）=f(x)，則應有這樣，研究f(x)只要，研究f（x）就可以了。
此外，定義在區間（-a,a）上的任何乙個函式f(x)都可以表示成乙個奇函式與乙個偶函式和事實上
設由奇偶函式的定義知，f1(x)是奇函式。f2(x)是偶函式，且.
我們還可以證明f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果,
其中g1(x)是奇函式，g2(x)是偶函式，於是
,,解得，
例 1. 已知.
典型錯誤令，得
,故.點評 .
解令 ,故.
例2． .
典型錯誤由 .
設 ,所以 .
點評是求出，再把x換成，而不是把中的x換成,得，再求反函式，這實際上是求的反函式.
解由故 .於是.
例3. 試指出函式在什麼條件下其反函式就是本身.
典型錯誤由函式，得
，故反函式為.
由條件知,所以.
點評僅憑觀察得出結論，缺乏嚴密性.
解由 ，
得 當b、c中至少有乙個不為零時，有；當時，.
四、解題方法與題例
1．求函式定義域的方法
若函式是乙個抽象的數學表示式子，則其定義域應是使這式子有意義的一切實數組成的集合，且在
（1）分式的分母不能為零；（2）偶次根號下應大於或等於零；
（3）對數式的真數應大於零且底數大於零不為1；（4）arc sin 或arc，其；
（5），其
（6）若函式的表示式由幾項組成，則它的定義域是各項定義域的交集；
（7）分段函式的定義域是各段定義域的並集。
若函式涉及到實際問題，定義域是除了使數學式子有意義還應當確保實際有意義自變數取值全體組成的集合。
對於抽象函式的定義域問題，要依據函式定義及題設條件。
例1 求下列函式的定義域：
（1）；（2）
解（1）要使函式式子有意義，就必須滿足。
化簡有,
即.解之，得定義域為。
（2）要使函式式子有意義，就必須滿足
，即，化簡有，，
不等式各邊除以（-2）有，，
各邊取倒數得，。
解之，得函式的定義域為。
例2 不清設，求f(x)的定義域。
解要使函式式子有意義，必須滿足
即故所給函式的定義域為。
注意：如果把化簡為，那麼函式的定義域為的一切實數，因此，求函式的定義變形式時需特別小心，避免出錯。
例3 已知且，求並寫出它的定義域。
解由，得，
由，得，即x≤0，所以。
例4 設f(x)的定義域為[0，1]，試求f(x+a)+f(x-a)的定義域（a>0）。
第一章函式 極限與連續小結
小結一 概念部分 1 函式的概念 復合函式和初等函式的概念 2 函式極限的定義 無窮大量與無窮小量的概念 極限的法則 兩個重要極限 3 函式連續的概念 連續的判斷 間斷點的判斷與分類 初等函式的連續性 閉區間上連續函式的性質。二 運算部分 1 求極限 1 利用極限的四則運算法則 2 對於分式的極限，...
第一章函式
由於社會和科學發展的需要，到了17世紀，對物體運動的研究成為自然科學的中心問題.與之相適應，數學在經歷了兩千多年的發展之後進入了乙個被稱為 高等數學時期 的新時代，這一時代集中的特點是超越了希臘數學傳統的觀點，認識到 數 的研究比 形 更重要，以積極的態度開展對 無限 的研究，由常量數學發展為變數數...
第一章集合與函式小結
教學目標 1 進一步理解和鞏固集合作為一種語言的功能，掌握集合間的基本關係及簡單的集合運算。會運用集合語言進行交流.2 通過進一步理解和鞏固函式的概念，會求簡單函式 包括分段函式 的性質及其綜合題 3 體會分類討論 數形結合等數學思想方法 教學重點 集合概念與運算 函式概念及函式性質的應用 教學難點...