由於社會和科學發展的需要，到了17世紀，對物體運動的研究成為自然科學的中心問題.與之相適應，數學在經歷了兩千多年的發展之後進入了乙個被稱為「高等數學時期」的新時代，這一時代集中的特點是超越了希臘數學傳統的觀點，認識到「數」的研究比「形」更重要，以積極的態度開展對「無限」的研究，由常量數學發展為變數數學，微積分的創立更是這一時期最突出的成就之一.微積分研究的基本物件是定義在實數集上的函式.
極限是研究函式的一種基本方法，而連續性則是函式的一種重要屬性.因此，本章內容是整個微積分學的基礎.本章將簡要地介紹高等數學的一些基本概念，其中重點介紹極限的概念、性質和運算性質，以及與極限概念密切相關的，並且在微積分運算中起重要作用的無窮小量的概念和性質.
此外，還給出了兩個極其重要的極限.隨後，運用極限的概念引入函式的連續性概念，它是客觀世界中廣泛存在的連續變化這一現象的數學描述.
在自然現象或工程技術中，常常會遇到各種各樣的量.有一種量，在考察過程中是不斷變化的，可以取得各種不同的數值，我們把這一類量叫做變數；另一類量在考察過程中保持不變，它取同樣的數值，我們把這一類量叫做常量.變數的變化有跳躍性的，如自然數由小到大變化、數列的變化等，而更多的則是在某個範圍內變化，即該變數的取值可以是某個範圍內的任何乙個數.
變數取值範圍常用區間來表示.滿足不等式的實數的全體組成的集合叫做閉區間，記為，即
；滿足不等式的實數的全體組成的集合叫做開區間，記為，即
；滿足不等式(或)的實數的全體組成的集合叫做左(右)開右(左)閉區間，記為
(或)，即
(或)，
左開右閉區間與右開左閉區間統稱為半開半閉區間，實數，稱為區間的端點.
以上這些區間都稱為有限區間.數稱為區間的長度.此外還有無限區間：，，
，，，等等. 這裡記號「」與「」分別表示「負無窮大」與「正無窮大」.
鄰域也是常用的一類區間.
設是乙個給定的實數，是某一正數，稱數集:
為點的鄰域，記作.即
稱點為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑(見圖1-1).稱為的去心鄰域，記作，即
圖1-1
下面兩個數集，，
分別稱為的左鄰域和右鄰域.當不需要指出鄰域的半徑時，我們用，分別表示的某鄰域和的某去心鄰域，，分別表示的某左鄰域和的某右鄰域.
在高等數學中除了考察變數的取值範圍之外，我們還要研究在同乙個過程**現的各種彼此相互依賴的變數，例如質點的移動距離與移動時間.曲線上點的縱座標與該點的橫座標，彈簧的恢復力與它的形變，等等.我們關心的是變數與變數之間的相互依賴關係，最常見的一類依賴關係，稱為函式關係.
定義1 設，是兩個實數集，如果有某一法則，使得對於每個數，均有乙個確定的數與之對應，則稱是從到內的函式.習慣上，就說是的函式，記作
其中，稱為自變數，稱為因變數，表示函式在處的函式值.數集稱為函式的定義域，記為；數集
稱為函式的值域，記作.
從上述概念可知，通常函式是指對應法則，但習慣上用「」表示函式，此時應理解為「由對應關係所確定的函式」.確定乙個函式有兩個基本要素，即定義域和對應法則.如果沒有特別規定，我們約定：
定義域表示使函式有意義的範圍，即自變數的取值範圍.在實際問題中，定義域可根據函式的實際意義來確定.例如，在時間的函式中，通常取非負實數.
在理論研究中，若函式關係由數學公式給出，函式的定義域就是使數學表示式有意義的自變數的所有可以取得的值構成的數集.對應法則是函式的具體表現，它表示兩個變數之間的一種對應關係.例如，氣溫曲線給出了氣溫與時間的對應關係，三角函式表列出了角度與三角函式值的對應關係.
因此，氣溫曲線和三角函式表表示的都是函式關係.這種用曲線和列表給出函式的方法，分別稱為圖示法和列表法.但在理論研究中，所遇到的函式多數由數學公式給出，稱為公式法.
例如，初等數學中所學過的冪函式、指數函式、對數函式、三角函式與反三角函式都是用公式法表示的函式.
從幾何上看，在平面直角座標系中，點集
稱為函式的影象（如圖1-2所示）.函式的影象通常是一條曲線，也稱為這條曲線的方程.這樣，函式的一些特性常常可借助於幾何直觀來發現；相反，一些幾何問題，有時也可借助於函式來作理論**.
現在我們舉乙個具體函式的例子.
圖1-2
例1 求函式的定義域.
解要使數學式子有意義，必須滿足
即由此有 ，
因此函式的定義域為.
有時乙個函式在其定義域的不同子集上要用不同的表示式來表示對應法則，稱這種函式為分段函式.下面給出一些今後常用的分段函式.
例2 絕對值函式
的定義域，值域，如圖1-3所示.
例3 符號函式
的定義域，值域，如圖1－4所示.
圖1-3圖1-4
例4 最大取整函式，其中表示不超過x的最大整數.例如，，，，等等.函式的定義域，值域.一般地，，，，如圖1-5所示.
圖1-5
在函式的定義中，對每個，對應的函式值總是唯一的，這樣定義的函式稱為單值函式.若給定乙個對應法則，對每個，總有確定的值與之對應，但這個不總是唯一的，我們稱這種法則確定了乙個多值函式.例如，設變數與之間的對應法則由方程給出，顯然，對每個， 由方程可確定出對應的值，當或時，對應乙個值；當時，對應的有兩個值.
所以這個方程確定了乙個多值函式.對於多值函式，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函式，這樣得到的單值函式稱為多值函式的單值分支.例如，由方程給出的對應法則中，附加「」的條件，即以「且」作為對應法則，就可以得到乙個單值分支；附加「」的條件，即以「且」 作為對應法則， 就可以得到乙個單值分支.
在有些實際問題中，函式的自變數與因變數是通過另外一些變數才建立起它們之間的對應關係的，如高度為一定值的圓柱體的體積與其底面圓半徑的關係，就是通過另外乙個變數其底面圓面積建立起來的對應關係.這就得到復合函式的概念.
定義2 設函式的定義域為，函式在上有定義，且.則由下式確定的函式
， 稱為由函式與函式構成的復合函式，記作
，， 它的定義域為，變數稱為中間變數.
這裡值得注意的是，不一定是函式的定義域，但.是中所有使得的實數的全體的集合.例如，， .顯然，的定義域為，而.因此，，而此時.
兩個函式的復合也可推廣到多個函式復合的情形.
例如， 可看成由指數函式與復合而成.又形如的函式稱為冪指函式，它可看成由與復合而成. 而可看成由，，復合而成.
例5 設，求
解令，，，則是通過兩個中間變數和復合而成的復合函式，因為，；，
所以定義3 設給定函式，其值域為.如果對於中的每乙個值，都有只從關係式中唯一確定的值與之對應，則得到乙個定義在上的以為自變數，為因變數的函式，稱為函式的反函式，記為.
從幾何上看，函式與其反函式有同一影象.但人們習慣上用x表示自變數，表示因變數，因此反函式常改寫成.今後，我們稱為的反函式.
此時，由於對應關係未變，只是自變數與因變數交換了記號，因此反函式與直接函式的影象關於直線對稱，如圖 1 - 6所示.
圖1-6
值得注意的是，並不是所有函式都存在反函式，例如函式的定義域為，值域為，但對每乙個，有兩個值即和與之對應，因此不是的函式，從而不存在反函式.事實上，由逆對映存在定理知，若是從到的一一對映，則才存在反函式.
例6 設函式，求.
解函式可看成由，復合而成.所求的反函式可看成由，復合而成.因為
，，即，從而，，，
所以因此
1. 函式的有界性
設函式在數集上有定義，若存在某個常數，使得對任一有
（或），
則稱函式在上有上界（或有下界），常數稱為在上的乙個上界（或下界）；否則，稱在上無上界（或無下界）.
若函式在上既有上界又有下界，則稱在上有界；否則，稱在上無界.若在其定義域上有界，則稱為有界函式.容易看出，函式在上有界的充要條件是：存在常數，使得對任一，都有
.例如，函式在其定義域內是有界的，因為對任一都有，函式在內無上界，但有下界.
從幾何上看，有界函式的影象界於直線之間.
2. 函式的單調性
設函式在數集上有定義，若對中的任意兩數，恒有
[或]，
則稱函式在上是單調增加（或單調減少）的.若上述不等式中的不等號為嚴格不等號，則稱為嚴格單調增加（或嚴格單調減少）的.在定義域上單調增加或單調減少的函式統稱為單調函式；嚴格單調增加或嚴格單調減少的函式統稱為嚴格單調函式.
如圖1-7所示.
圖1-7
例如，函式在其定義域內是嚴格單調增加的；函式在內是嚴格單調減少的.
從幾何上看，若是嚴格單調函式，則任意一條平行於軸的直線與它的影象最多交於一點，因此有反函式.
3. 函式的奇偶性
設函式的定義域關於原點對稱（即若，則必有.若對任意的，都有
[或]，
則稱是上的奇函式（或偶函式）.
奇函式的影象對稱於座標原點，偶函式的影象對稱於軸，如圖1－11所示.
圖1-8
例7 討論函式的奇偶性.
解函式的定義域是對稱區間，因為
所以，是上的奇函式.
4. 函式的週期性
設函式的定義域為，若存在乙個不為零的常數，使得對任意，有，且，則稱為週期函式，其中使上式成立的常數稱為的週期，通常，函式的週期是指它的最小正週期，即：使上式成立的最小正數（如果存在的話）.
例如，函式的週期為；的週期是.
並不是所有函式都有最小正週期，例如，狄利克雷（dirichlet）函式
任意正有理數都是它的週期，但此函式沒有最小正週期.
下面通過幾個具體的問題，說明如何建立函式關係式.
例8 火車站收取行李費的規定如下：當行李不超過50千克時，按基本運費計算.如從上海到某地每千克以0.
15元計算基本運費，當超過50千克時，超重部分按每千克0.25元收費.試求上海到該地的行李費（元）與重量（千克）之間的函式關係式，並畫出函式的影象.
解當時，；當時，.
所以函式關係式為：
這是乙個分段函式，其影象如圖1－9所示.
第一章函式極限
第一節函式 一 函式內容網路圖 二 內容與要求 1.理解函式的概念，掌握函式的表示法，並會函式關係的建立。2.了解函式的有界性 單調性 週期性和奇偶性.3.理解復合函式及分段函式的概念，了解反函式及隱函式的概念.4.掌握基本初等函式的性質及其圖形，了解初等函式的概念.重點函式的概念 復合函式及分段函...
第一章集合與函式小結
教學目標 1 進一步理解和鞏固集合作為一種語言的功能，掌握集合間的基本關係及簡單的集合運算。會運用集合語言進行交流.2 通過進一步理解和鞏固函式的概念，會求簡單函式 包括分段函式 的性質及其綜合題 3 體會分類討論 數形結合等數學思想方法 教學重點 集合概念與運算 函式概念及函式性質的應用 教學難點...
第一章集合與函式概念
一 選擇題 1 已知全集u 且ua 則集合a的真子集共有 a 3個b 4個c 5個d 6個 2 設集合a b 若ab，則a的取值範圍是 a 3 a b 且，則的取值集合是 ab c d 4 設i為全集，集合m，n，p都是其子集，則圖中的陰影部分表示的集合為 a m n p b m p in c p ...