一、考試要求
1． 理解函式的概念，掌握函式的表示方法，會建立應用問題的函式關係。
2．了解函式的奇偶性、單調性、週期性和有界性。
3． 理解復合函式及分段函式的概念，了解反函式及隱函式的概念。
4． 掌握基本初等函式的性質及其圖形，了解初等函式的概念。
5． 理解（了解）極限的概念，理解（了解）函式左、右極限的概念以及函式極限存在與左、右極限之間的關係。
6． 掌握（了解）極限的性質，掌握四則運算法則。
7． 掌握（了解）極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握（會）利用兩個重要極限求極限的方法。
8． 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。
9． 理解函式連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函式間斷點的型別
10． 了解連續函式的性質和初等函式的連續性，理解閉區間上連續函式的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），並會應用這些性質。
11. 掌握（會）用洛必達法則求未定式極限的方法。
二、內容提要
1、函式
（1）函式的概念: y=f(x)，重點：要求會建立函式關係.
（2）復合函式: y=f(u), u=，重點：確定復合關係並會求復合函式的定義域.
（3）分段函式: 注意，為分段函式.
（4）初等函式：通過有限次的四則運算和復合運算且用乙個數學式子表示的函式。
（5）函式的特性：單調性、有界性、奇偶性和週期性
* 注：1、可導奇(偶)函式的導函式為偶(奇)函式。
特別：若為偶函式且存在，則
2、若為偶函式，則為奇函式；
若為奇函式，則為偶函式；
3、可導週期函式的導函式為週期函式。
特別：設以為週期且存在，則。
4、若f(x+t)=f(x), 且，則仍為以t為週期的週期函式.
5、設是以為週期的連續函式，則
， 6、 若為奇函式，則；
若為偶函式，則
7、設在內連續且存在，
則在內有界。
2、 極限
(1) 數列的極限：
(2) 函式在一點的極限的定義：
(3) 單側極限: 1) 左右極限
2) 極限存在的充要條件：
(4) 極限存在的準則
1) 夾逼定理： 數列情形，函式情形
2) 單調有界數列必有極限
(5)極限的基本性質：唯一性，保號性，四則運算
*1）極限不等式
注：不成立
2）區域性保號性
則在某內
3）區域性有界性則在某內有界。
4） (6) 兩類重要極限
(7) 無窮小量與無窮大量
1) 無窮小量; 2) 無窮大量; （注意與無界變數的差異）
3) 無窮小量與無窮大量的關係
(8) 無窮小量階的比較
(9) 羅比達法則
3、連續
1) 連續的定義
2) 區間上的連續函式
3) 間斷點及其分類
4) 閉區間上連續函式的性質：有界性定理、最值定理、介值定理、零點定理
三、 * 重要公式與結論
1、常見極限不存在的情形：
1) 方法：用無窮小量乘有界變數
2 方法：分或討論.
2 、特別：若
3、 無窮小量的等價代換
若，則有
特別注意： （ ，
（）， （），
設，且～，～
(1)(2)(3)（0712）當時，與等價的無窮小量是
（ab）
（c） （d）
4 、 若
由此有5、極限的形式與關係
（1）（2）
（3），
6、若，則
(i)(ii)
若，則(i)(ii)
7、設在處連續，則
（1）（2）
（3）（4）不存在
四、 典型題型與例題
題型一、 函式的概念和性質
例1、設，則=
（a） 0 （b） 1 （c） （d）
例2、對下列函式 （1） （2） （3）
在（0，1）內有界的有個
（a） 0 （b） 1 （c） 2 （d） 3
例3、（0434）函式在下列哪個區間內有界
（a）（-1，0） （b）（0，1） （c） （1，2） （d）（2，3）
例4、（0534）以下四個命題中正確的是（ ）
（a） 若在（0，1）內連續，則在（0，1）內有界
（b） 若在（0，1）內連續，則在（0，1）內有界
（c） 若在（0，1）內有界，則在（0，1）內有界
（d） 若在（0，1）內有界，則在（0，1）內有界
例5、（051、2）設是連續函式的乙個原函式，則必有
（a）是偶函式是奇函式
（b）是奇函式是偶函式
（c）是週期函式是週期函式
（d）是單調函式是單調函式
題型二、 極限的概念和性質
例6、 當時，是
（a） 無窮小 （b）無窮大（c）有界的但不是無窮小（d）無界的但不是無窮大
例7、設對，總有，且，則
（a） 存在且等於0b）存在但一定不為0
（c）一定不存在d）不一定存在
例8、已知在處連續，且，求
題型三、求函式的極限
基本思路：
1、先化簡
（1）約掉零因子（無窮因子）
（2）提出極限不為零的因子
（3）根式有理化
（4）無窮小替換
（5）變數替換（尤其是倒代換）
2、再用洛必達法則或其它求極限的方法
3、上述步驟可重複進行
1、 常規方法：
1) 運算法則，
2)無窮小量等價代換，
3）洛必塔法則
1）用運算法則應注意的問題
例9、 求極限
例10、 求極限
羅畢達法則1、或型
1、先化簡
2、用洛必達法則、四則運算法則、泰勒公式
3、綜合題（結合導數的定義等）
例11、求
例12、 求極限
例13、（042）求極限
例14、（0734
羅畢達法則2、型
型未定式有兩種處理方法
或例15、求
例16、
例17、（101）極限
(a)1bcd
羅畢達法則3、其他型別
1、型轉化為型，用洛必達法則等
2、3、型 (i) 通分 (ii) 變數替換（重點倒代換）
轉化為型。
4、不是未定式
例18、求極限
例19．（0434）求
2、變形方法：
1) 變數代換；2) 導數定義；
3) 泰勒公式; 特別若f(x)二階連續可導，則有
例20、 設f(x)連續， f(0)=0, f(0)0, 求
例21、 求下列極限(泰勒公式)
[,]例22、求
泰勒公式
3、抽象函式
例23、若，求。
題型四、 求數列的極限
思路：1、轉化為函式的極限。
2、數列用遞推公式給出，可考慮單調有界原理。
3、對通項適當放大（縮小），用夾逼準則。
4、和（積）的極限，可考慮用定積分的定義。
1、 利用函式極限求數列的極限
方法：1、
2、若例24、求
2、 利用數列的收斂準則
（1）、兩個準則
（2）、已知可導
1）若，則單調，且
2）若，則不單調
（3）、若存在使得，則
例25、設證明，並求其解。
例26、設證明，並求其解。
3、利用定積分定義(適合n項求和的情形)
思路：1、求出項和或積（積可轉化為和），再求極限。
2、利用夾逼準則。
3、利用定積分的定義
4、利用已知級數的和。
公式： 1）
2）例27、等於
（a） （b） （c） （d）
例28、求
3、其他方法
例29、（用級數收斂性）
解：考慮級數由於
級數收斂，所以=0
例30、（用中值定理）
解：用拉格朗日中值定理
（介與之間）
因而=題型五、反問題
求已知極限中的待定引數，函式值，導數及函式等
命題方式：1、已知極限存在
2、已知無窮小階的比較
3、已知函式的連續性或間斷點型別
思路：1、將極限轉化為
2、洛必達法則
3、泰勒公式
例31、已知求的值
例31、已知當時，是的高階無窮小，求值
例33、（022）已知在可導，，且
滿足，求
題型六、 無窮小量的比較
1、 掌握低階無窮小、高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小等概念
2、 當時，，若，
則例34、設函式則當時，是的
（a）低階無窮小（b）高階無窮小（c）等價無窮小（d）同階但不等價的無窮小
例35、（0412）把時的無窮小
，從高階到低階排列
例36、設f(x)連續，且當x→0時，f(x)=是與x3等價的無窮小量，則f(0)= .
例37、（103）設f (x)=ln10 x , g (x)= x , h (x)=, 則當x充分大時有
(a) g (x)< h (x)< f (xb) h (x)< g (x)< f (x) .
(c) f (x)< g (x)< h (xd) g (x)< f (x)< h (x
題型七、 判斷函式的連續性與間斷點的型別
1、 初等函式在其有定義的區間內是連續的。
2、 連續隱含的條件。
3、 會判斷函式的連續性
（特別是分段函式在分界點處的連續性，要考慮左右極限）。
4、 會求函式的間斷點，並能判斷其型別。
5、 閉區間上連續函式的性質。
例38、設在處連續，求的值
例39、設f(x)= ，則f(x)有( ).
一函式。極限。連續
一.填空題 1 設 則a 解.可得 所以 a 2.2解.所以 n n 所以 3.已知函式 則f f x 解.f f x 1.4解.5解.6.已知 0 則ak 解.所以 k 1 1990,k 1991 二.單項選擇題 1.設f x 和 x 在 內有定義,f x 為連續函式,且f x 0,x 有間斷點,...
函式的概念第一講
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第一章函式 極限與連續小結
小結一 概念部分 1 函式的概念 復合函式和初等函式的概念 2 函式極限的定義 無窮大量與無窮小量的概念 極限的法則 兩個重要極限 3 函式連續的概念 連續的判斷 間斷點的判斷與分類 初等函式的連續性 閉區間上連續函式的性質。二 運算部分 1 求極限 1 利用極限的四則運算法則 2 對於分式的極限，...