數列放縮法
1. 均值不等式法
例1 設求證
例2 已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：
例3 求證.
例4 已知，，求證：≤1.
2．利用有用結論
例5 求證
例6 已知函式
求證：對任意且恆成立。
例7 已知
用數學歸納法證明；
對對都成立，證明（無理數）
例8 已知不等式。表示不超過的最大整數。設正數數列滿足：求證
再如：設函式。
（ⅰ）求函式最小值；（ⅱ）求證：對於任意，有
例9 設，求證：數列單調遞增且
3. 部分放縮
例10 設,求證：
例11 設數列滿足，當時證明對所有有：
； .
4 . 添減項放縮
例12 設，求證.
例13 設數列滿足證明對一切正整數成立；
5 利用單調性放縮: 建構函式
例14 已知函式的最大值不大於，又當時
（ⅰ）求的值；（ⅱ）設，證明
例15 數列由下列條件確定：， ．
（i） 證明：對總有；(ii) 證明：對總有
6 . 換元放縮
例16 求證
例17 設，，求證.
7 轉化為加強命題放縮
例18 設，定義，求證：對一切正整數有
例19 數列滿足證明
例20 已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝
（1）求數列｛an｝的通項公式；（2）證明：對一切正整數n有a1a2……an2n！
8. 分項討論
例21 已知數列的前項和滿足
（ⅰ）寫出數列的前3項； （ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）證明：對任意的整數，有.
9. 借助數學歸納法
例22（ⅰ）設函式，求的最小值；
（ⅱ）設正數滿足，求證：
10. 構造輔助函式法
例23 已知=,數列滿足
（1）求在上的最大值和最小值; （2）證明：;
（3）判斷與的大小，並說明理由.
例24 已知數列的首項，，．
（ⅰ）求的通項公式； （ⅱ）證明：對任意的，，；
（ⅲ）證明：．
例25 已知函式f(x)=x2-1(x>0)，設曲線y=f(x)在點（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點為（xn+1,0）(n∈n*).
(ⅰ) 用xn表示xn+1； （ⅱ）求使不等式對一切正整數n都成立的充要條件，並說明理由；
（ⅲ）若x1=2，求證：
例1 解析此數列的通項為，
，即注：應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
，其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例2 [簡析]
例3 簡析不等式左邊=
=，故原結論成立.
例4 【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有
其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為：
若，， 試求的最大值。
請分析下述求法：因為，所以有
故的最大值為，且此時有。
上述解題過程貌似完美，其實細細推敲，是大有問題的：取「＝」的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那麼，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉化：
則有於是，，當且僅當
結合其結構特徵，還可構造向量求解：設，則
由立刻得解：
且取「＝」的充要條件是：。
2．利用有用結論
例5 簡析本題可以利用的有用結論主要有：
法1 利用假分數的乙個性質可得
即 法2 利用貝努利不等式的乙個特例(此處)得，
例6 [簡析] 高考標準用數學歸納法證明，；這裡給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：
而由不等式得
(時取等號)
（），得證！
例7 [解析] 結合第問結論及所給題設條件（）的結構特徵，可得放縮思路： 。
於是，即
【注】：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮： ，即
例8 【簡析】 當時，即於是當時有
注：本題涉及的和式為調和級數，是發散的，不能求和；但是可以利用所給題設結論來進行有效地放縮；
再如：【解析】（ⅰ）1；（ⅱ）證明：由（ⅰ）得，對x>－1有，利用此結論進行巧妙賦值：取，則有
即對於任意，有
例9 [解析] 引入乙個結論：若則，（可通過構造乙個等比數列求和放縮來證明，略）
整理上式得（），以代入（）式得。即單調遞增。以代入（）式得。此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。
注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有對通項作如下放縮：
故有3. 部分放縮
例10 [解析]
又（只將其中乙個變成，進行部分放縮），，
於是例11 【解析】用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，
則當時，成立。
利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得
【注】上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；
證明就直接使用了部分放縮的結論。
例12 [簡析] 觀察的結構，注意到，展開得
即，得證.
例13[簡析] 本題有多種放縮證明方法，這裡我們對（ⅰ）進行減項放縮，有
法1 用數學歸納法（只考慮第二步）；
法2則例14 [解析] （ⅰ）=1 ；（ⅱ）由得且
用數學歸納法（只看第二步）：在是增函式，則得
例15 [解析] 建構函式易知在是增函式。當時在遞增，故。對(ii)有，建構函式
它在上是增函式，故有，得證。
【注】數列單調遞減有下界因而有極限：
是遞推數列的母函式，研究其單調性對此數列本質屬性具有重要的指導作用。
例16 [簡析] 令，這裡則有
，從而有
注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。
例17 [簡析] 令，則，，應用二項式定理進行部分放縮有
，注意到，則（證明從略），因此.
7 轉化為加強命題放縮
例18 [解析] 用數學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式
是難以證出的，因為出現在分母上！可以逆向考慮：
故將原問題轉化為證明其加強命題：對一切正整數有（證略）
例19 [簡析] 將問題一般化：先證明其加強命題用數學歸納法，只考慮第二步：
。因此對一切有
例20 [解析]：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為乙個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）……1
（2）證：據1得，a1a2…an＝，為證a1a2……an2n！，
只要證nn時有……2 顯然，左端每個因式都是正數，先證明乙個加強不等式：
對每個nn，有1－（）……3
（用數學歸納法，證略）利用3得1－（）
＝1－＝1－。故2式成立，從而結論成立。
8. 分項討論
例21 [簡析] （ⅰ）略，（ⅱ）；（ⅲ）由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），
於是,當且為偶數時，
當且為奇數時， （添項放縮）
由知。由得證。
9. 借助數學歸納法
例22 [解析] 科學背景：直接與凸函式有關！（ⅰ）略，只證（ⅱ）：
考慮試題的編擬初衷，是為了考查數學歸納法，於是借鑑詹森不等式的證明思路有：
法1（用數學歸納法）
（i）當n=1時，由（ⅰ）知命題成立。（ii）假定當時命題成立，即若正數，
則當時，若正數（*）
為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前後兩段：
令則為正數，且
由歸納假定知
（1）同理，由得
（2）綜合（1）（2）兩式
即當時命題也成立. 根據（i）、（ii）可知對一切正整數n命題成立.
法2 建構函式
利用（ⅰ）知，當
對任意（式是比①式更強的結果）. 下面用數學歸納法證明結論.
（i）當n=1時，由（i）知命題成立.
（ii）設當n=k時命題成立，即若正數
對（*）式的連續兩項進行兩兩結合變成項後使用歸納假設，並充分利用式有
由歸納法假設
得即當時命題也成立. 所以對一切正整數n命題成立.
【評注】（1）式也可以直接使用函式下凸用（ⅰ）中結論得到；
（2）為利用歸納假設，也可對（*）式進行對應結合：而變成項；
（3）本題用凸函式知識分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函式，則
對任意，有
特別地，若，則有
若為上凸函式則改「」為「」。
由為下凸函式得，又，所以
（4）本題可作推廣如下：若正數滿足，則
。簡證：建構函式，易得故
10. 構造輔助函式法
例23 【解析】(1) 求導可得在上是增函式,
（2）（數學歸納法證明）①當時，由已知成立；②假設當時命題成立，即成立，
那麼當時，由（1）得，，，，這就是說時命題成立。由①、②知，命題對於都成立
（3） 由, 構造輔助函式，得
，當時，
故，所以<0 得g(x)在是減函式，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0，∴>0,即》0，得》。
例24 【解析】（ⅰ）．（ⅱ）提供如下兩種思路：
思路1 觀察式子右邊特徵，按為元進行配方，確定其最大值。
法1 由（ⅰ）知，
，原不等式成立．
思路2 將右邊看成是關於x的函式，通過求導研究其最值來解決：
法2 設，則
，當時，；當時，，
當時，取得最大值．原不等式成立．
（ⅲ）思路1 考慮本題是遞進式設問，利用（ⅱ）的結論來**解題思路：
由（ⅱ）知，對任意的，有
．取，則．原不等式成立．
【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進行巧妙賦值，當然，賦值方法不止一種，如：還可令，得
思路2 所證不等式是與正整數n有關的命題，能否直接用數學歸納法給予證明？嘗試：
（1）當時，成立；
（2）假設命題對成立，即
則當時，有，
只要證明；即證，
即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。如下證明是否正確，請分析：易於證明對任意成立；於是
【注】上述證明是錯誤的！因為：是遞增的，不能逐步「縮小」到所需要的結論。可修改如下：
考慮是某數列的前n項和，則，
只要證明
思路3 深入觀察所證不等式的結構特徵, 利用均值不等式可得如下妙證：
由取倒數易得：，用n項的均值不等式：
，例25 【解析】(ⅰ)（ⅱ）使不等式對一切正整數n都成立的充要條件是x1≥1.
基本思路：尋求合適的放縮途徑。
探索1 著眼於通項特徵，結合求證式特點，嘗試進行遞推放縮：
即。於是由此遞推放縮式逐步放縮得
探索2 從求證式特徵嘗試分析：結論式可作如下變形：
逆向思考，猜想應有：（用數學歸納法證明，略）。
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...
利用放縮法證明數列型不等式壓軸題
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