不等式是高考數學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數學素質的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養考生數學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。
放縮法的理論依據是不等式性質的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯絡，選擇適當的放縮方法。
⒈利用三角形的三邊關係
［例1］ 已知a，b，c是△abc的三邊，求證：
證明：﹥∵=為增函式，又∵∴。
點評：學生知道要利用三角形的三邊關係，但無法找到放縮的方法，難在建構函式。
⒉利用函式的單調性
［例2］ 求證：對於一切大於1的自然數n，恒有。
證明： 原不等式變形為 ，
令則 ，所以 。
即是單調增函式（n=2，3，…），所以 。故原不等式成立。
點評：一開始學生就用數學歸納法進行嘗試，結果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變為常數，再用單調性放縮就好了。
⒊利用基本不等式
［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求證：－
證明：,
設 （1）
（2）（1）+（2）得
點評：用數學歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結合進行放縮。
⒋利用絕對值不等式
［例4］設=，當時，總有，求證：。
證明：∵，∴，，，
又∵∴所以，∴=7。
點評：本題是一道函式與絕對值不等式綜合題，學生不能找到解題的突破口，關鍵在於找到a，b，c與f（0），f（1），f（-1）的聯絡，再利用絕對值內三角形不等式適當放縮。
⒌利用不等式和等比數列求和
［例5］求證：。
證明：=，利用不等式
∴﹤=﹤。
點評：有些學生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當的變形放縮，對利用不等式進行放縮不熟悉。若經過「湊」與不等式相結合，再利用等比數列求和放縮就到了。
⒍ 利用錯位相減法求和
［例6］已知a1, a2, a3, ……, an, ……構成一等差數列，其前n項和為sn＝n2, 設bn＝,
記的前n項和為tn, (1) 求數列的通項公式；(2) 證明：tn<1。
解：(1) a1＝s1＝1, 當n≥2時, an＝sn－sn－1＝2n－1; 由於n＝1時符合公式，
∴ an＝2n－1 (n≥1). (2) tn＝, ∴ tn＝,
兩式相減得tn＝＋＝＋(1－)－,
∴ tn＝＋(1－)－<1。
⒎ 利用裂項法求和
［例7］已知函式在上有定義，且滿足①對任意的
②當時，.證明不等式.
證明：令，則.令，則，故在上為奇函式.
設，且由可得
，則由題有，故，即，所以為上減函式.從而函式在時，.
所以，即
.點評：本題將數列與不等式、函式綜合考查數學邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數學歸納法證明不等式，但學生解題的過程不過完善。若用裂項法進行數列求和放縮就簡單
⒏利用二項式定理展開
［例8］已知數列滿足(n∈n*),是的前n項的和，並且．
（1）求數列的前項的和； （2）證明：≤．（3）求證：
解： (1)由題意得
兩式相減得
所以再相加
所以數列是等差數列．又又
所以數列的前項的和為．
而 ≤.
（3）證明：
點評：這是一道很有研究價值的用放縮法證明不等式的典例。考查了與 an 的關係，有些學生沒有對an中的n進行討論，也沒有合併，雖用了二項式展開，但無法構造不等式進行放縮。
對第3小題的放縮也可裂項法求和進行放縮。
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