課時訓練36 不等式的證明（一）
【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.
一、選擇題（每小題6分，共42分）
1.設0＜x＜1，則a=,b=1+x,c=中最大的乙個是（ ）[**:z*xx*
a.ab.bc.cd.不能確定
答案：c
解析：因0＜x＜1,故 1-x2＞0,即1+x＜,b＜c,又1+x-=()2+＞0,故a＜b,即最大的是c.
2.(2010北京東城區一模，4)已知a＜0,b＜-1,則下列不等式成立的是（ ）
a.ab.＞＞a
c.＞＞ad.＞a＞
答案：c
解析：∵a＜0,b＜-1,則＞0,b＞-1.則b2＞1.
∴＜1.又∵a＜0,∴0＞＞a.
∴＞＞a.故選c.
3.設a＞b＞0，則下列關係式成立的是（ ）
a.aabbb.aabb＜
c.aabbd.aabb與的大小不確定
答案：a
解析：aabb÷=,因a＞b＞0,故ab＞1,a-b＞0,＞1.
4.設a,b∈r+，且ab-a-b≥1，則有（ ）
a.a+b≥2(+1b.a+b≤+1[**:學|科|網z|x|x|k]
c.a+b＜+1d.a+b＞2(+1)
答案：a
解析：由ab≥1+a+b ()2≥1+a+b,將a+b看作一整體即可.[**:學#科#網z#x#x#k]
5.若0＜x＜,設a=2-xsinx,b=cos2x,則下式正確的是( )
a.a≥bb.a=bc.a＜bd.a＞b
答案：d
解析：a-b=2-xsinx-cos2x
=sin2x-xsinx+1=(sinx-)2+1-,因為0＜x＜,所以0＜＜＜1.所以a-b＞0.
6.設a,b,c為△abc的3條邊，且s=a2+b2+c2,p=ab+bc+ca,則( )
a.s≥2pb.p＜s＜2pc.s＞pd.p≤s＜2p
答案：d
解析：2(s-p)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,
∴s≥p.
2p=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)＞b2+c2+a2=s,
∴2p＞s.
7.若a,xy∈r+,且+≤a恆成立，則a的最小值是( )
a.2bc.2d.1
答案：b
解析：因()2=1+≤1+=2,
故的最大值為.即amin=.
二、填空題（每小題5分，共15分）
8.在△abc中，三邊a、b、c的對角分別為a、b、c，若2b=a+c，則角b的範圍是
答案：0＜b≤
解析：cosb=≥.
∴0＜b≤.
9.已知ab+bc+ca=1，則當時，|a+b+c|取最小值
答案：a=b=c= [**
解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac=3.
10.民用住宅的窗戶面積必須小於地板面積，但按採光標準，窗戶面積與地板面積的比應不小於10%，並且這個比越大，採光條件越好，則同時增加相等的窗戶面積與地板面積，採光條件變填「好」或「壞」）.
答案：好[**:學科網]
解析：設窗戶面積為a，地板面積為b，則a＜b,且≥10%,設增加面積為m，易知.
三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）
11.已知函式f(x)=x2+ax+b,當p、q滿足p+q=1時，試證明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)對任意實數x、y都成立的充要條件是：0≤p≤1.
證明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b
=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy
=pq(x-y)2.
∵(x-y)2≥0,
∴欲使pq(x-y)2≥0對任意x、y都成立，
只需pq≥0p(1-p)≥0p(p-1)≤00≤p≤1.
故0≤p≤1是pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立的充要條件.
12.若a、b∈r+且a+b=1,求證：≤2.
證明：≤2
a+b+1+2≤4
≤1ab++≤1
ab≤.
∵ab≤()2=成立,
∴原不等式成立.
13.已知a、b、x、y∈r+且,x＞y.
求證:.
證法一：（作差比較法）
∵,又且，a、b∈r+,
∴b＞a＞0.又x＞y＞0,∴bx＞ay.
∴＞0，即.
證法二：（分析法）
∵x、y、a、b∈r+,∴要證,只需證明x(y+b)＞y(x+a),即證xb＞ya,而同＞0,∴b＞a＞0.又x＞y＞0,知 xb＞ya顯然成立，故原不等式成立.
14.給出不等式≥(x∈r).經驗證：
當c=1,2,3時，對於x取一切實數，不等式都成立，試問c取任何正數時，不等式對任何實數x是否都成立，若成立，則證明，若不成立，求c的取值範圍.
解析：由≥
+≥+(-)+ -≥0
(-)(1-)≥0
假設x∈r時恆成立，顯然-≥0
即有1-≥0
·≥1x2≥-c
左邊x2≥0，而右邊不恆≤0，故此不等式不能恆成立.
若恒成立則必有-c≤0
c≥1時恆成立.
高中數學 均值不等式
均值不等式歸納總結 1.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 2.1 若，則 2 若，則 當且僅當時取 3 若，則 當且僅當時取 3.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 4.若，則 當且僅當時取 若，則 當且僅當時取 5.若，則 當且僅當時取 應用一 求最值 例1 求下...
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不等式知識要點 1.平方平均 算術平均 幾何平均 調和平均 a b為正數 當a b時取等 特別地，當a b時，例1 數軸穿根法 不等式的解為 a 1c x 4或 3求定義域的時候不要寫成並集 分子分母同時約去一項前必須先保證約去的一項不為零 例2 解關於的不等式 分析 本例主要複習含絕對值不等式的解...
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考綱要求 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程式框圖 3 二元一次不等式組與簡單線性規劃問題 線性規劃中的幾個概念 1 不等式組 是一組對變數x y的約束條件。2 函式z 2x y為目標函式。3 滿足線性約束條件的解 x y 叫做可行解。4 所有可行解組成的集合叫做可行域。5 ...