不等式的證明是高中數學的重要內容，既是高中數學的乙個難點，又是歷屆高考的熱點，也是將來進入大學不可缺少的技能.題型廣泛，證法靈活.下面對常用證明方法比較法、綜合法、分析法做例析歸納.
一、比較法：比較法是證明不等式最常用的也是最基本的方法，有作差法和作商法兩種.
例1、已知評注：作差法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷，最後與0比較大小.取差後要注意因式分解或配方，以判斷差的符號.
例2、已知求證： .
評注：欲證不等式兩端是乘積形式或冪指形式時常用作商比較法.作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號——作商（要求分母不等於0）——變形，判斷與1的大小.
二、綜合法
例3、已知求證：
評注：綜合法證明不等式，從已知不等式和問題的已知條件出發，借助於不等式的性質的有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後達到特徵結論或需求問題.其特點是以「已知」看「可知」，逐步推向「未知」.
三、分析法
例4、已知求證：
評注:當待證的結論與已知條件沒有明顯關係時,可考慮分析法；證明某些無理不等式用綜合法較困難時常用分析法證明.用分析法證題時,「要證」「只需證」等語言必須有,否則無法體現分析法的「執果索因」特點.
例5、已知求證：
4、反證法
例6、若 ，則 、 、 中至少有乙個不等於0．
5、數學歸納法
例7、證明 ()．
例8、證明n+5n能被6整除(n∈n*）
6、數形結合
例9、已知a、b、c都是正數，求證：
＋>證明過程詳解
例一證明：
當時， >0
當a0當a=b時， =0
綜上所述， 0，故.
例二證明：
若，則若，則
若則綜上所述，.
例三證明： 又同理
例四證明：要證只需證
只需證只需證
只需證即證
只需證，由已知條件，顯然成立，
例五 [證法一]（比較法）：
0[證法二]（綜合法）：
[證法三]（分析法）：要證只需證
即證只需證即證
只需證因為成立，
例6證明：假設 、 、 都等於0，則
與矛盾，所以 、 、 中至少有乙個不等於0
例9、分析與證明：觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2＋ab的形式，聯想到餘弦定理：c2=a2+b2-2abcosc,為了得到a2+b2＋ab的形式,只要c=120°，
這樣：可以看成a、b為鄰邊，夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b、c為鄰邊，夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a、c為鄰邊，夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下，
ab=,
bc=,
ac=顯然ab+bc>ac，故原不等式成立。
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式的證明
不等式的證明是高中數學中的難點，常常和其他章節結合起來一起來出題，要求能掌握其基本的解題方法。1 作差法 作差法的理論基礎 例 求證 x2 3 3x 例 已知a,b都是正數，求證 總結 作差法注意事項 1.當不等號左右兩邊有公因式或者可以配方時用作差法 2.步驟分三步 作差,變形,判斷 二 作商法 ...