備戰2023年高考數學專題：
高考數學常用公式及結論200條
集合● 元素與集合的關係
,.● 集合的子集個數共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空的真子集有–2個.
二次函式，二次方程
● 二次函式的解析式的三種形式
(1)一般式;
(2)頂點式;
(3)零點式.
● 方程在上有且只有乙個實根,與不等價,前者是後者的乙個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有乙個實根在內,等價於,或且,或且.
● 閉區間上的二次函式的最值
二次函式在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
，，.(2)當a<0時，若，則，若，則，.
● 一元二次方程的實根分布
依據：若，則方程在區間內至少有乙個實根 .
設，則（1）方程在區間內有根的充要條件為或；
（2）方程在區間內有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區間內有根的充要條件為或.
簡易邏輯
● 真值表
常見結論的否定形式
● 四種命題的相互關係
原命題互逆逆命題
若ｐ則若ｑ則ｐ
互互互為為互
否否逆逆 否否
否命題逆否命題
若非ｐ則非ｑ 互逆若非ｑ則非ｐ
● 充要條件
（1）充分條件：若，則是充分條件.
（2）必要條件：若，則是必要條件.
（3）充要條件：若，且，則是充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
函式● 函式的單調性
(1)設那麼
上是增函式；
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導，如果，則為增函式；如果，則為減函式.
● 如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式; 如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.
● 奇偶函式的圖象特徵
奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱;在對稱區間上，奇函式的單調性相同，歐函式相反；，如果乙個函式的圖象關於原點對稱，那麼這個函式是奇函式；如果乙個函式的圖象關於y軸對稱，那麼這個函式是偶函式，如果乙個奇函式的定義域包括0，則必有f(0)=0;
● 若函式是偶函式，則；若函式是偶函式，則.
● 對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是函式;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
● 若,則函式的圖象關於點對稱; 若,則函式為週期為的週期函式.
● 函式的圖象的對稱性
(1)函式的圖象關於直線對稱
.(2)函式的圖象關於直線對稱
.● 兩個函式圖象的對稱性
(1)函式與函式的圖象關於直線(即軸)對稱.
(2)函式與函式的圖象關於直線對稱.
(3)函式和的圖象關於直線y=x對稱.
● 若將函式的圖象右移、上移個單位，得到函式的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.
● 幾個常見的函式方程
(1)正比例函式,.
(2)指數函式,.
(3)對數函式,.
(4)冪函式,.
(5)余弦函式,正弦函式，，
● 幾個函式方程的週期(約定a>0)
（1），則的週期t=a；
（2），或，
或,或,則的週期t=2a；
(3)，則的週期t=3a；
(4)且，則的週期t=4a；
(5),則的週期t=5a；
(6)，則的週期t=6a.
指數與對數
● 分數指數冪
(1)（，且）.(2)（，且）.
● 根式的性質
（1）.（2）當為奇數時，；當為偶數時，.
● 有理指數冪的運算性質
(1) .
(2).
(3).
注： 若a＞0，p是乙個無理數，則ap表示乙個確定的實數．上述有理指數冪的運算性質，對於無理數指數冪都適用.
● 指數式與對數式的互化式
.● 對數的換底公式
(,且, ,且,).
推論(,且, ,且, ,).
● 對數的四則運算法則
若a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，則
(1);(2);
(3).
● 對數換底不等式及其推廣
若, , , ,則函式
(1)當時,在和上為增函式.
， (2)當時,在和上為減函式.
推論:設，，，且，則
（1）.（2）.
● 平均增長率的問題
如果原來產值的基礎數為n，平均增長率為，則對於時間的總產值，有.
39.數列的同項公式與前n項的和的關係
( 數列的前n項的和為).
數列● 等差數列的通項公式；
其前n項和公式為.
● 等比數列的通項公式；
其前n項的和公式為
或.● 等比差數列:的通項公式為
；其前n項和公式為
.● 分期付款(按揭貸款)
每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
三角函式
● 常見三角不等式
（1）若，則.(2) 若，則.
(3).
● 同角三角函式的基本關係式
， =，.
● 正弦、余弦的誘導公式
● 和角與差角公式
;;.(平方正弦公式);
.= (輔助角所在象限由點的象限決定, ).
● 半形正餘切公式：
● 二倍角公式
...● 三角函式的週期公式
函式，x∈r及函式，x∈r(a,ω,為常數，且a≠0，ω＞0)的週期；函式， (a,ω,為常數，且a≠0，ω＞0)的週期.
● 正弦定理.
● 餘弦定理
;;.● 面積定理
（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
(3).
● 三角形內角和定理
在△abc中，有
.● 在三角形中有下列恒等式：①②
● 角的變形：
向量● 實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那麼
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
● 向量的數量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
● 平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
● 向量平行的座標表示
設a=,b=，且b0，則ab(b0).
● a與b的數量積(或內積)
a·b=|a||b|cosθ．
● a·b的幾何意義
數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
● 平面向量的座標運算
(1)設a=,b=，則a+b=.
(2)設a=,b=，則a-b=.
(3)設a，b,則.
(4)設a=，則a=.
(5)設a=,b=，則a·b=.
● 兩向量的夾角公式
(a=,b=).
● 平面兩點間的距離公式
=(a，b).
● 向量的平行與垂直
設a=,b=，且b0，則
a||bb=λa.
ab(a0) a·b=0.
● 線段的定比分公式
設，，是線段的分點,是實數，且，則
（）.● 三角形的重心座標公式
△abc三個頂點的座標分別為、、,則△abc的重心的座標是.
● 點的平移公式
.注:圖形f上的任意一點p(x，y)在平移後圖形上的對應點為，且的座標為.
● 「按向量平移」的幾個結論
（1）點按向量a=平移後得到點.
(2) 函式的圖象按向量a=平移後得到圖象,則的函式解析式為.
(3) 圖象按向量a=平移後得到圖象,若的解析式,則的函式解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移後得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移後得到的向量仍然為m=.
● 三角形五「心」向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內心.
（5）為的的旁心.
不等式● 常用不等式：
（1） (當且僅當a＝b時取「=」號)．
（2） (當且僅當a＝b時取「=」號)．
（3）● 指數不等式與對數不等式
(1)當時,; .
(2)當時,
;直線方程
● 斜率公式
①（、）.② k=tanα(α為直線傾斜角）
● 直線的五種方程
（1）點斜式(直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式()(、()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式(其中a、b不同時為0).
● 兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①;②.
(2)若, ,且a1、a2、b1、b2都不為零,
①；②兩直線垂直的充要條件是；即：
● 夾角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時，直線l1與l2的夾角是.
● 到的角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時，直線l1到l2的角是.
● 四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的係數; 經過定點的直線系方程為,其中是待定的係數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的係數．
(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變數．
(4)垂直直線系方程：與直線(a≠0，b≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變數．
● 點到直線的距離
(點,直線：).
● 或所表示的平面區域
設直線，若a>0,則在座標平面內從左至右的區域依次表示，，若a<0,則在座標平面內從左至右的區域依次表示，，可記為「x 為正開口對，x為負背靠背「。（正負指x的係數a，開口對指」<>"，背靠背指"><"）
85.或所表示的平面區域
設曲線（），則
或所表示的平面區域是：
所表示的平面區域上下兩部分；
所表示的平面區域上下兩部分.
圓● 圓的四種方程
（1）圓的標準方程.
（2）圓的一般方程(＞0).
（3）圓的引數方程.
（4）圓的直徑式方程(圓的直徑的端點是、).
● 圓系方程
(1)過點,的圓系方程是
,其中是直線的方程,λ是待定的係數．
(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的係數．
(3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的係數．
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