1.單調性
函式的單調性是研究函式在定義域內某一範圍的圖象整體上公升或下降的變化趨勢，是研究函式圖象在定義域內的區域性變化性質。
⑴函式單調性的定義
一般地，設函式的定義域為，區間．如果對於區間內的______兩個值，，當《時，都有_____，那麼在區間上是單調增函式，稱為的單調_____區間. 如果對於區間內的______兩個值，，當《時，都有_____，那麼在區間上是單調減函式，稱為的單調_____區間.如果函式在區間上是單調增函式或單調減函式，那麼函式在區間上具有________.
點評單調性的等價定義：
①在區間上是增函式當時，有
；②在區間上是減函式當時，有
；⑵函式單調性的判定方法
①定義法；②影象法；③復合函式法；④導數法；⑤特值法（用於小題），⑥結論法等.
注意：①定義法（取值——作差——變形——定號——結論）：設且，那麼在區間上是增函式； 在區間上是減函式。
②導數法（選修）：在區間內處處可導，若總有（），則在區間內為增（減）函式；反之，在區間內為增（減）函式，且處處可導，則（）。請注意兩者之間的區別，可以「數形結合法」研究。
點評判定函式的單調性一般要將式子進行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利於判斷符號；證明函式的單調性主要用定義法和導數法。
提醒求單調區間時，不忘定義域；多個單調性相同的區間不一定能用符號「」連線；單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示。判定函式不具有單調性時，可舉反例。
⑶與函式單調性有關的一些結論
①若與同增（減），則＋為增（減）函式，為增函式；
②若增，為減，則－為增函式，－為減函式，為減函式；
③若函式在某一範圍內恒為正值或恒為負值，則與在相同的單調區間上的單調性相反；
④函式與函式具有相同的單調性和單調區間；
⑤函式與函式具有相同的單調性和單調區間，函式與函式具有相同單調區間上的單調性相反。
2.奇偶性
函式的奇偶性是研究函式在定義域內的圖象是否關於原點中心對稱，還是關於軸成軸對稱，是研究函式圖象的結構特點；
⑴函式奇偶性的定義
一般地，設函式的定義域為．如果對於_____的，都有_____，那麼函式是偶函式. 一般地，設函式的定義域為．如果對於_____的，都有_____，那麼函式是奇函式. 如果函式是奇函式或偶函式，那麼函式具有________.
注意具有奇偶性的函式的定義域一定關於原點對稱，因此，確定函式奇偶性時，務必先判定函式定義域是否關於原點對稱。
⑵圖象特徵
函式為奇（偶）函式函式的圖象關於原點（軸）成中心（軸）對稱圖形。
注意定義域含的偶函式圖象不一定過原點；定義域含的奇函式圖象一定過原點；利用函式的奇偶性可以把研究整個函式問題轉化到一半區間上，簡化問題。
點評①函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件.
②是奇函式.
③是偶函式.
④奇函式在原點有定義，則.
⑤在關於原點對稱的單調區間內：
（ⅰ）奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性；
（ⅱ）奇函式有相反的最值（極值），偶函式有相同的最值（極值）。
⑥是偶函式.
⑶奇偶性的判定方法
若所給函式的解析式較為複雜，應先考慮其定義域並等價變形化簡後，再判斷其奇偶性. 如判斷函式的奇偶性。判定函式奇偶性方法如下：①定義（等價定義）法；②影象法；③結論法等.
點評定義法判定函式的奇偶性先求定義域，看其是否關於原點對稱，若對稱，再求，接著考察與的關係，最後得結論.判斷函式不具有奇偶性時，可用反例。
⑷與函式的奇偶性有關的一些結論
①若與同奇（偶），則±為奇（偶）函式， 和為偶函式，為奇（偶）函式；
②若與一奇一偶，則和為奇函式，為偶函式；
③定義域關於原點對稱的函式可以表示為乙個奇函式與乙個偶函式和的形式。
⑸函式按奇偶性分類
①奇函式非偶函式，②偶函式非奇函式，③既是奇函式又是偶函式，④非奇非偶函式。
點評既奇又偶的函式有無數個。如定義域關於原點對稱即可。如函式＝
。3.週期性
函式的週期性是研究一些函式圖象在定義域內具有某種一定的週期變化規律；
⑴函式週期性的定義
一般地，對於函式，如果存在乙個________的常數，使得定義域內的________
值，都滿足，那麼函式稱為週期函式，________常數叫做這個函式的週期。如果乙個週期函式的所有的週期中存在乙個________的____數，那麼這個數叫做函式的最小週期正週期。如沒有特別說明，遇到的週期都指最小正週期。
點評 ①非零常數是週期函式本身固有的性質，與自變數的取值無關；②若非零常數是函式的週期，則非零常數的非零整數倍（，且也是函式的週期；③若函式的週期為，則函式（其中，，為常數，且，）的週期為；④定義中的等式是恒等式；⑤函式的週期是。
⑵三角函式的週期
①；②；③；
④；⑤；
⑶函式週期的判定
①定義法（試值） ②影象法 ③公式法（利用（2）中結論）④結論法。
⑷與週期有關的一些結論
①或的週期為；
②是偶函式,其影象又關於直線對稱的週期為；
③奇函式,其影象又關於直線對稱的週期為；
④關於點,對稱的週期為；
⑤的圖象關於直線,對稱函式的週期為；
⑥的圖象關於點中心對稱，直線軸對稱週期為4；
⑦對時,或的週期為；
⑧函式滿足，且為非零常數的週期為4；
⑨函式滿足（為非零常數）的週期6。
點評注意對稱性與週期性的關係。
4.零點與不動點
4.1函式的零點
⑴定義一般地，我們把使函式的值為_____的實數稱為函式的零點.
點評函式的零點就是方程的實數根。從圖象上看，函式的零點，就是它的圖象與軸交點的橫座標。利用函式的零點、方程的根、函式的圖象與軸交點的橫座標這三者之間的聯絡，可以解決很多函式與方程的問題。
這就是高考的熱點內容——函式與方程的思想運用。
⑵函式零點的存在性
一般地，若函式在區間上的圖象是一條連續不間斷的曲線，且
﹤______，則至少存在乙個實數，使得，此時實數為函式的零點.
點評若函式在區間上的圖象是一條連續不間斷的單調曲線，且﹤0，則有惟一的實數，使得。
4.2函式、方程與不等式三者之間的關係
一般地，不等式的解集為函式的圖象在軸上方部分的點的橫座標組成的集合；不等式的解集為函式的圖象在軸下方部分的點的橫座標組成的集合；
點評利用函式圖象並結合函式的零點，可求不等式或的解集；利用函式圖象並結合相應方程的解，可求不等式或的解集等；
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...
函式的基本性質
個性化教學輔導教案 學科 數學任課教師 劉興峰授課日期 2012年月日 星期 知識點概述 1 函式的概念 設 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應 包括集合，以及到的對應法則 叫做集合到的乙個函式，記作 函式的三要素 定義域 ...
函式的基本性質知識點總結
3 設復合函式y f g x 其中u g x a是y f g x 定義域的某個區間，b是對映g x u g x 的象集 若u g x 在 a上是增 或減 函式，y f u 在b上也是增 或減 函式，則函式y f g x 在a上是增函式 若u g x 在a上是增 或減 函式，而y f u 在b上是減 ...