第2章函式的基本性質
2. 20 本章考點小結
【教學目標】
【教學重點】
函式的基本性質及應用
【教學難點】
函式關係的建立、用函式的性質解決簡單的實際問題與領悟數學思想方法。
【教學過程】：
一．知識整理
1．基本思想
（1）函式主要研究兩個變數的相互聯絡，故涉及到兩個變數的相互作用、相互影響的問題， 大多可用函式的觀點來解決。
（2） 研究函式的主要途徑是函式的圖象和基本性質（以圖象說明性質）。
2.主要問題：
（1） 函式圖象的基本作法：a.分段 b.平移 c.對稱 d.伸縮
（2） 函式單調性的求法：a.圖象 b.單調運算 c.復合函式 d.定義
（3） 函式最值（或範圍）的求法：a.圖象 b.單調性 c.不等式 d.復合函式 e.換元
f.數形結合
（4） 反函式求法：①解出x =φ (y)，②調換x,y, ③寫出反函式定義域
3.函式的基本性質
函式定義：在某個變化過程中有兩個變數x,y，如果對於x在某個實數集合d內的每乙個確定的值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的實數值與之對應，那麼y就是x函式，記作y = f (x)，x∈d，x叫做自變數，x的取值範圍d叫做函式的定義域，和x的值相對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
函式的相等：定義域相同，對應法則相同
函式圖象：以自變數x的值為橫座標，與x的值對應的y的值為縱座標所構成的點集，即
a. 定義域：自變數x的取值範圍；亦為函式圖象上點的橫座標的集合
b.值域：因變數y的取值範圍；亦為函式圖象上點的縱座標的集合
c.奇偶性：如果對於函式f(x)的定義域d內的任意實數a，都有f(-a)= f(a)，則稱函式f(x)為偶函式；
如果對於函式f(x)的定義域d內的任意實數a，都有f(-a)=-f(a)，則稱函式f(x)為奇函式；
判斷準則：1.定義域關於原點對稱，2.
奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於y軸對稱
d.單調性：存在定義域的子集m，對於m內的任意兩個值
則稱函式f(x)在集合m上單調遞增
或遞減）。
e.最值：定義域內的函式值的最大（小）值。亦即函式圖象上最高（低）點的縱座標。
f.週期性：對於函式y =f(x),若存在乙個常數t0，使得當x取定義域內的每乙個值時，都有f(x+t)=f(x)成立，則稱f(x)為週期函式，常數t叫做f(x)的週期。
4.基本函式：常數函式；正比例函式；反比例函；數一次函式；二次函式；
5.函式構成
在基本函式的基礎上：
(a) 運算：以和、差、商、積函式為代表，如：
(b) 復合：y = f(g(x))
二．例題精析
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的單調性，填空題，易，邏輯思維能力。
【題目】函式的單調增區間是 。
【解答】答案為。由，得，所以函式的單調增區間是。要熟知各類函式的定義、性質，尤其是一次函式、二次函式、反比例函式、指數函式、對數函式和冪函式。
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的單調性，填空題，中，分析問題與解決問題能力。
【題目】已知函式，若關於x的方程有兩個不同的實根，則實數k的取值範圍是________.
【解答】單調遞減且值域為(0,1]，單調遞增且值域為，有兩個不同的實根，則實數k的取值範圍是（0,1）。
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的性質，解答題，難，分析問題與解決問題能力。
【題目】設為實數，函式.
(1)若，求的取值範圍；
(2)求的最小值；
(3)設函式，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.
【解答】
（1）若，則
（2）當時，
當時，綜上（3）時，得，
當時，；
當時，△>0,得：
討論得：當時，解集為;
當時，解集為;
當時，解集為.
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的實際應用問題，解答題，難，分析問題與解決問題能力。
【題目】有時可用函式
描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關。
（1） 證明：當時，掌握程度的增加量總是下降；
（2） 根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為,,。當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科。
【解答】（1）當
而當，函式單調遞增，且》0……..3分
故單調遞減
當，掌握程度的增長量總是下降……………..6分
（2）由題意可知0.1+15ln=0.85……………….9分
整理得解得…….13分
由此可知，該學科是乙學科……………..14分
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的性質，解答題，難，數學**與創新能力。
【題目】已知函式的反函式。定義：若對給定的實數，函式與互為反函式，則稱滿足「和性質」；若函式與互為反函式，則稱滿足「積性質」。
（1） 判斷函式是否滿足「1和性質」，並說明理由；
（2） 求所有滿足「2和性質」的一次函式；
（3） 設函式對任何，滿足「積性質」。求的表示式。
【解答】（1）函式的反函式是
而其反函式為
故函式不滿足「1和性質」
（2）設函式滿足「2和性質」，
…….6分
而得反函式………….8分
由「2和性質」定義可知=對恆成立
即所求一次函式為………..10分
（3）設，，且點在影象上，則在函式圖象上，
故，可得12分
令，則。，即14分
綜上所述，，此時，其反函式就是，
而，故與互為反函式16分
三．課堂反饋
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的影象、對稱性、週期性，選擇題，易，分析問題與解決問題能力。
【題目】函式的影象大致為
【解答】:函式有意義,需使,其定義域為,排除c,d,又因為,所以當時函式為減函式,故選a.
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的影象、對稱性、週期性，選擇題，中，分析問題與解決問題能力。
【題目】.定義在r上的函式f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( )
a.-1b. 0 c.1 d. 2
【解答】:由已知得,,,
,,,,,
所以函式f(x)的值以6為週期重複性出現.,所以f（2009）= f（5）=1,故選c.
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的影象、對稱性、週期性，選擇題，中，分析問題能力。
【題目】定義在r上的函式f(x)滿足f(x)= ，則f（3）的值為( )
a.-1b. -2 c.1 d. 2
【答案】:由已知得,,,
,,故選b.
【解答】:b.
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的影象、對稱性、週期性，填空題，中，分析問題與解決問題能力。
【題目】若曲線與直線沒有公共點，則分別應滿足的條件是
【解答】
四．課堂小結（課堂小結主要為方法總結及解題注意事項）.
函式是用以描述客觀世界中量的依存關係的數學概念，函式思想的實質就是用聯絡、變化的觀點提出數學物件，建立函式關係，求得問題解決.近幾年高考中，考查函式的思想方法已更加突出，特別是應用題的考查，考查力度逐年加大，都需用到函式的知識與方法才能解決，從如何建立函式關係式入手，考查函式的基本性質，以及數形結合、分類討論、最優化等數學思想，重視對實踐能力的考查是高考的新動向.因此要強化函式思想的應用意識的訓練，才能適應高考新的變化.
五．課後作業
【屬性】高三複習，函式的基本性質，函式的概念，選擇題，易，分析問題與解決問題能力。
函式基本性質的小結 印
1.單調性 函式的單調性是研究函式在定義域內某一範圍的圖象整體上公升或下降的變化趨勢，是研究函式圖象在定義域內的區域性變化性質。函式單調性的定義 在區間上是增函式當時，有 在區間上是減函式當時，有 函式單調性的判定方法 定義法 影象法 復合函式法 導數法 特值法 用於小題 結論法等.注意 定義法 取...
函式基本性質小結作業
1 選擇題 1 下列結論正確的是 a.函式 為常數，且 在上為減函式 b.函式在上為減函式 c.函式在定義域內為減函式d.函式在上為減函式 2 函式遞減區間是 a.b.c.d.3 函式的單調增區間為 a 0 b 0c 0，d 4 下列函式中，在區間 0，上不是增函式的是 a y 2x 1 b y 3...
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...