1.單調性
函式的單調性是研究函式在定義域內某一範圍的圖象整體上公升或下降的變化趨勢，是研究函式圖象在定義域內的區域性變化性質。
⑴函式單調性的定義:
①在區間上是增函式當時，有
；②在區間上是減函式當時，有
；⑵函式單調性的判定方法
①定義法；②影象法；③復合函式法；④導數法；⑤特值法（用於小題），⑥結論法等.
注意：①定義法（取值——作差——變形——定號——結論）：
②導數法：在區間內處處可導，若總有（），則在區間內為增（減）函式；反之，在區間內為增（減）函式，且處處可導，則（）。請注意兩者之間的區別，可以「數形結合法」研究。
點評判定函式的單調性一般要將式子進行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利於判斷符號；證明函式的單調性主要用定義法和導數法。
提醒求單調區間時，不忘定義域；多個單調性相同的區間不一定能用符號「」連線；單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示。判定函式不具有單調性時，可舉反例。
⑶與函式單調性有關的一些結論
①若與同增（減），則＋為增（減）函式，復合函式為增函式；
②若增，為減，則－為增函式，－為減函式，復合函式為減函式；
③若函式在某一範圍內恒為正值或恒為負值，則與在相同的單調區間上的單調性相反；
④函式與函式具有相同的單調性和單調區間；
⑤函式與函式具有相同的單調性和單調區間，
函式與函式具有相同單調區間上的單調性相反。
2.奇偶性
函式的奇偶性是研究函式在定義域內的圖象是否關於原點中心對稱，還是關於軸成軸對稱，是研究函式圖象的結構特點；
⑴函式奇偶性的定義
注意具有奇偶性的函式的定義域一定關於原點對稱，因此，確定函式奇偶性時，務必先判定函式定義域是否關於原點對稱。
⑵圖象特徵
函式為奇（偶）函式函式的圖象關於原點（軸）成中心（軸）對稱圖形。
注意定義域含的偶函式圖象不一定過原點；定義域含的奇函式圖象一定過原點；利用函式的奇偶性可以把研究整個函式問題轉化到一半區間上，簡化問題。
點評①函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件（大前提）
②是奇函式.
③是偶函式.
④奇函式在原點有定義，則.
⑤在關於原點對稱的單調區間內：
（ⅰ）奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性；（ⅱ）奇函式有相反的最值（極值），偶函式有相同的最值（極值）。
⑥是偶函式.
⑶奇偶性的判定方法
若所給函式的解析式較為複雜，應先考慮其定義域並等價變形化簡後，再判斷其奇偶性. 如判斷函式
的奇偶性。判定函式奇偶性方法如下：①定義（等價定義）法；②影象法；③結論法等.
點評：定義法判定函式的奇偶性先求定義域，看其是否關於原點對稱，若對稱，再求，接著考察與的
關係，最後得結論.判斷函式不具有奇偶性時，可用反例。
⑷與函式的奇偶性有關的一些結論
1 若與同奇（偶），則±為奇（偶）函式， 和為偶函式，
復合函式為奇（偶）函式；
②若與一奇一偶，則和為奇函式，復合函式為偶函式；
③定義域關於原點對稱的函式可以表示為乙個奇函式與乙個偶函式和的形式。
⑸函式按奇偶性分類
①奇函式非偶函式，②偶函式非奇函式，③既是奇函式又是偶函式，④非奇非偶函式。
點評既奇又偶的函式有無數個。如定義域關於原點對稱即可。
3.週期性
函式的週期性是研究一些函式圖象在定義域內具有某種一定的週期變化規律；
⑴函式週期性的定義
點評 ：①非零常數是週期函式本身固有的性質，與自變數的取值無關；
②若非零常數是函式的週期，則非零常數的非零整數倍（，且也是函式的週期；
③若函式的週期為，則函式（其中，，為常數，且，）的週期為；
④定義中的等式是恒等式；⑤函式的週期是。
⑵三角函式的週期
①；② ；③；
④；⑤；
⑶函式週期的判定
①定義法（試值） ②影象法 ③公式法（利用（2）中結論）④結論法。
⑷與週期有關的一些結論
①或的週期為；
②是偶函式,其影象又關於直線對稱的週期為；
③奇函式,其影象又關於直線對稱的週期為；
點評：注意對稱性與週期性的關係。
4.對稱性
函式的對稱性是研究函式圖象的結構特點（即函式圖象關於某一點成中心對稱圖形或關於某一條直線成軸對稱圖形）；
⑴函式對稱性的定義
⑵函式圖象對稱性的證明
證明函式影象的對稱性，即證明影象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在影象上；
⑶與對稱性性有關的一些結論 （函式自身的對稱性）
①函式的圖象關於直線成軸對稱。特別地，當時，函式為偶函式。
②函式的圖象關於點成中心對稱。特別地，當且時，函式為奇函式。
點評「函式奇偶性是函式對稱性的特殊情況。
③若對時,恆成立,則影象關於直線對稱；
④如果函式對於時，都有，則函式的圖象關於點（）對稱
⑤函式的圖象關於點中心對稱。
5.有界性
函式的有界性是研究函式圖象在直角座標系中的上下界情況，重點是通過研究函式的最大（小）值（值域）來研究有界性問題
⑴函式最大（小）值的定義
注意 ①函式最大（小）值應該是某乙個函式值（在定義域上能取到）；②函式最大（小）值應該是所有函式值中最大（小）的，最大（小）值不同於極大（小）值
⑵值域與最值
注意函式的最值與函式的值域的區別和聯絡，理解值域和最值是考察函式的有界性問題
（3）恆成立問題的處理方法
恆成立問題的處理方法：
⑴分離引數法(最值法)；
⑵轉化為一元二次方程根的分布問題。如方程有解(為的值域)
②不等式恆成立；不等式恆成立。
6.極值
函式的極值是研究函式在其定義域內的某一區域性上的性質。這與函式的最值所研究的問題角度有所不同。
⑴極值的定義；⑵極值的求法：①影象法；②導數法。
7.1函式的零點：⑴定義
注：函式的零點就是方程的實數根。從圖象上看，函式的零點，就是它的圖象與軸交點的橫座標。
利用函式的零點、方程的根、函式的圖象與軸交點的橫座標這三者之間的聯絡，可以解決很多函式與方程的問題。這就是高考的熱點內容——函式與方程的思想運用。
7.2函式零點的存在性：
注意：在區間上有函式在上有零點，反之，不一定成立
7.3函式、方程與不等式三者之間的關係
一般地，不等式的解集為函式的圖象在軸上方部分的點的橫座標組成的集合；不等式的解集為函式的圖象在軸下方部分的點的橫座標組成的集合；
點評：利用函式圖象並結合函式的零點，可求不等式或的解集；利用函式圖象並結合相應方程的解，可求不等式或的解集等；
7．4基本方法
求函式零點
⑴直接法（通過解方程（組））；⑵影象法；⑶二分法。
函式的基本性質小結
第2章函式的基本性質 2.20 本章考點小結 教學目標 教學重點 函式的基本性質及應用 教學難點 函式關係的建立 用函式的性質解決簡單的實際問題與領悟數學思想方法。教學過程 一 知識整理 1 基本思想 1 函式主要研究兩個變數的相互聯絡，故涉及到兩個變數的相互作用 相互影響的問題，大多可用函式的觀點...
函式基本性質小結作業
1 選擇題 1 下列結論正確的是 a.函式 為常數，且 在上為減函式 b.函式在上為減函式 c.函式在定義域內為減函式d.函式在上為減函式 2 函式遞減區間是 a.b.c.d.3 函式的單調增區間為 a 0 b 0c 0，d 4 下列函式中，在區間 0，上不是增函式的是 a y 2x 1 b y 3...
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...