考綱要求
1. 了解函式的定義域、值域，並能簡單求解．
2. 理解函式的單調性、最大(小)值及其幾何意義；結合具體函式，了解函式奇偶性的含義．
3. 會運用函式圖象理解和研究函式的性質．
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考點梳理
1．單調性
（1）一般地，設函式的定義域為如果對於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值，當時，若都有，那麼就說函式在區間上單調遞增，若都有，那麼就說函式在區間上單調遞減。
（2）如果函式在區間上是增函式或減函式，那麼就說函式在這一區間具有嚴格的單調性，區間叫做的單調區間。
（3）判斷證明函式單調性的一般方法：單調四法，導數定義復合影象
定義法：
用定義法證明函式的單調性的一般步驟是①設，且；②作差；③變形（合併同類項、通分、分解因式、配方等）④判斷的正負符號；⑤根據定義下結論。
復合函式分析法
設，，都是單調函式，則在上也是單調函式，其單調性由「同增異減」來確定，即「裡外」函式增減性相同，復合函式為增函式，「裡外」函式的增減性相反，復合函式為減函式。如下表：
導數證明法：
設在某個區間內有導數，若在區間內，總有，則在區間上為增函式（減函式）；反之，若在區間內為增函式（減函式），則。
影象法：
一般通過已知條件作出函式影象的草圖，從而得到函式的單調性。
考點梳理
2、奇偶性
(1)定義:
如果對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為這一定義域內的奇函式;如果對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內的偶函式.
理解：(ⅰ)上述定義要求一對實數x,-x必須同時都在f(x)的定義域內,注意到實數x,-x在x軸上的對應點關於原點對稱(或與原點重合),故知f(x)的定義域關於原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要條件.
(ⅱ)判斷函式奇偶性的步驟:
①考察函式定義域;
②考察f(-x)與f(x)的關係;
③根據定義作出判斷.
(ⅲ)定義中條件的等價轉化
①f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)≠0)
②f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)≠0)
(2)延伸
(ⅰ) 設函式f(x)是定義域關於原點對稱的任意乙個函式,則有
f(x)=+ =g(x)+p(x)
其中,g(x)= 為偶函式,p(x)= 為奇函式.
即對於定義域關於原點對稱的任何乙個函式f(x), f(x)總可以表示為乙個奇函式與乙個偶函式的和.
(ⅱ)若f(x)為奇函式且零屬於f(x)的定義域,則f(0)=0.
(3)奇(偶)函式影象的特徵
(ⅰ)奇函式影象關於原點對稱;
(ⅱ)偶函式影象關於y軸對稱.
(4)奇偶性與單調性的聯絡
當函式f(x)既具奇偶性,又在某區間上單調時,我們可利用奇、偶函式的定義匯出以下命題:
設g,g＇為函式ｆ（ｘ）的定義域的子區間，並且區間ｇ與ｇ＇關於原點對稱，則有
(ⅰ)當ｆ（ｘ）為奇函式時，ｆ（ｘ）在區間ｇ和區間ｇ＇上的單調性相同；
(ⅱ)當ｆ（ｘ）為偶函式時，ｆ（ｘ）在區間ｇ和區間ｇ＇上的單調性相反．
這一命題又可凝練為八個字：區間對稱，奇同偶反．
典型例題
型別一、求（判斷）函式的單調區間
1.證明函式在區間是增函式。
答案與解析舉一反三
解：設，
函式在區間是增函式。
【變式】求下列函式的單調區間：
(1)y=|x+1|； (2) (3).
答案與解析
解：(1)畫出函式圖象，
∴函式的減區間為，函式的增區間為(-1，+∞)；
(2)定義域為，其中u=2x-1為增函式，在(-∞，0)與(0，+∞)為減函式，則上為減函式；
(3)定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，單調增區間為：(-∞，0)，單調減區間為(0，+∞).
典型例題
型別二、單調性的應用(比較函式值的大小，求函式值域，求函式的最大值或最小值)
2. 已知二次函式f(x)=x2-(a-1)x+5在區間上是增函式，求：(1)實數a的取值範圍；(2)f(2)的取值範圍.
答案與解析舉一反三
解：(1)∵對稱軸是決定f(x)單調性的關鍵，聯絡圖象可知
只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4
∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
.【變式】已知函式，若關於x的方程有兩個不同的實根，則實數k的取值
範圍是________.
答案與解析
解：單調遞減且值域(0,1]，單調遞增且值域為，由圖象知，若有兩個不同的實根，則實數k的取值範圍是（0,1）. 型別
三、判斷函式的奇偶性
3. 判斷下列函式的奇偶性：
(1) (2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6) (7)
答案與解析舉一反三
解析：(1)∵f(x)的定義域為，不關於原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函式；
(2)∵x-1≥0，∴f(x)定義域不關於原點對稱，∴f(x)為非奇非偶函式；
(3)對任意x∈r，都有-x∈r，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函式 ；
(4)∵x∈r，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)為奇函式；
(5)，∴f(x)為奇函式；
(6)∵x∈r，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)為奇函式；
(7)，∴f(x)為奇函式.
【變式】已知f(x)，g(x)均為奇函式，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函式，f(x)·g(x)為偶函式.
答案與解析
證明：設f(x)=f(x)+g(x)，g(x)=f(x)·g(x)則
f(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-f(x)
g(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=g(x)
∴f(x)+g(x)為奇函式，f(x)·g(x)為偶函式.
典型例題
型別四、函式奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)
4．設是偶函式．
（1）求的值;
（2）證明：在上為增函式．
答案與解析舉一反三
解析：（1）方法一：
是偶函式且其定義域為，∴
解得或 方法二：
是偶函式且其定義域為，∴
當時即解得或
（2）方法一：定義法
由（1）知：
設，則，
即 故在上為增函式。
方法二：導數法
由（1）知：，∴時時
故在上為增函式。
點評：偶函式在其定義域內恆成立，因此可以應用恒等式的相關方法進行處理。在利用定義法證明單調性的時候，必須注意書寫格式的規範。
【變式】已知函式f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0答案與解析
【答案】
(1)證明：由f(x)+f(y)=f(),
令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0
∴f(x)=－f(－x)，∴f(x)為奇函式
(2)證明：先證f(x)在(0，1)上單調遞減
令00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,
由題意知f()<0，即f(x2)典型例題
型別五：分段函式的基本性質
5．已知函式，求：
（1）的值；（2）的定義域、值域。
答案與解析舉一反三
解析：（1）∵， ∴
∴（2）的定義域為，即
當時，；
當時，；
當時，；
綜上可得的值域為。
點評：分段函式分段討論，先區域性後整體；結果應當要並。
【變式】設，，則
答案與解析
【答案】：。
解析：，；
，.鞏固練習
1．下列判斷正確的是（ ）
a．函式是奇函式 b．函式是偶函式
c．函式是非奇非偶函式 d．函式既是奇函式又是偶函式
2．若函式在上是單調函式，則的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
3．函式的值域為（ ）
a． b． c． d．
4．已知函式在區間上是減函式，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
5．下列四個命題：
(1)函式的定義域，在時是增函式，也是增函式，則在定義域上是增函式；
(2)若函式與軸沒有交點，則且；
(3) 的遞增區間為；
(4) 和表示相同函式。
其中正確命題的個數是( )
a． b． c． d．
6．某學生離家去學校，由於怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走餘下的路程. 在下圖中縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發後的時間，則下圖中的四個圖形中較符合該學生走法的是（ ）
7．函式的單調遞減區間是
8．已知定義在上的奇函式，當時，，那麼時
9．若函式在上是奇函式,則的解析式為________.
10．奇函式在區間上是增函式，在區間上的最大值為，最小值為，
則 11．若函式在上是減函式，則的取值範圍為
12．判斷下列函式的奇偶性
（1） （2）
13．已知函式的定義域為，且對任意，都有，且當時，恆成立，證明：（1）函式是上的減函式；
（2）函式是奇函式。
14．設函式與的定義域是且,是偶函式, 是奇函式,且,求和的解析式.
15．設為實數，函式，
（1）討論的奇偶性；
（2）求的最小值。
答案與解析
【參***與解析】 1. c 選項a中的而有意義，非關於原點對稱，選項b中的
而有意義，非關於原點對稱，選項d中的函式僅為偶函式；
2. c 對稱軸，則，或，得，或
3. b ,是的減函式，
當4. a 對稱軸
5. a （1）反例；（2）不一定，開口向下也可；（3）畫出圖象
可知，遞增區間有和；（4）對應法則不同
6. b 剛剛開始時，離學校最遠，取最大值，先跑步，圖象下降得快！
7. 畫出圖象
8. 設，則，，
∵∴,9.
∵∴即10. 在區間上也為遞增函式，即
11.12.解：（1）定義域為，則，
為奇函式。
（2）∵且∴既是奇函式又是偶函式。
13.證明：(1)設，則，而
函式是上的減函式;
(2)由得
即，而即函式是奇函式。
14.解：∵是偶函式, 是奇函式，∴，且
而,得,
即，∴，。
15.解：（1）當時，為偶函式，
當時，為非奇非偶函式；
（2）當時，
當時，，
當時，不存在；
當時，當時，，
當時，。
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...
函式的基本性質
個性化教學輔導教案 學科 數學任課教師 劉興峰授課日期 2012年月日 星期 知識點概述 1 函式的概念 設 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應 包括集合，以及到的對應法則 叫做集合到的乙個函式，記作 函式的三要素 定義域 ...
函式基本性質
數學1必修 第一章 下 函式的基本性質 基礎訓練a組 一 選擇題 1 已知函式為偶函式，則的值是 a.b.c.d.2 若偶函式在上是增函式，則下列關係式中成立的是 a b c d 3 如果奇函式在區間上是增函式且最大值為，那麼在區間上是 a 增函式且最小值是 b 增函式且最大值是c 減函式且最大值是...