§1.3 函式的基本性質
1．3.1 單調性與最大(小)值
第1課時函式的單調性
課時目標 1.理解函式單調性的性質.2.掌握判斷函式單調性的一般方法．
1．函式的單調性
一般地，設函式f(x)的定義域為i：
(1)如果對於定義域i內某個區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1(2)如果對於定義域i內某個區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就說函式f(x)在區間d上是
(3)如果函式y＝f(x)在區間d上是________或________，那麼就說函式y＝f(x)在這一區間具有區間d叫做y＝f(x)的
2．a>0時，二次函式y＝ax2的單調增區間為________．
3．k>0時，y＝kx＋b在r上是____函式．
4．函式y＝的單調遞減區間為
一、選擇題
1．定義在r上的函式y＝f(x＋1)的圖象如右圖所示．
給出如下命題：
①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；
③若x>0，則f(x)<0；
④若x<0，則f(x)>0，其中正確的是( )
ab．①④
cd．①③
2．若(a，b)是函式y＝f(x)的單調增區間，x1，x2∈(a，b)，且x1a．f(x1)c．f(x1)>f(x2d．以上都可能
3．f(x)在區間[a，b]上單調，且f(a)·f(b)<0，則方程f(x)＝0在區間[a，b]上( )
a．至少有乙個根b．至多有乙個根
c．無實根d．必有唯一的實根
4．函式y＝x2－6x＋10在區間(2,4)上是( )
a．遞減函式b．遞增函式
c．先遞減再遞增d．先遞增再遞減
5．如果函式f(x)在[a，b]上是增函式，對於任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結論中不正確的是( )
a. >0
b．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
c．f(a)d. >0
6．函式y＝的單調遞減區間為( )
a．(－∞，－3b．(－∞，－1]
c．[1d．[－3，－1]
二、填空題
7．設函式f(x)是r上的減函式，若f(m－1)>f(2m－1)，則實數m的取值範圍是
8．函式f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[2，＋∞)時是增函式，當x∈(－∞，2]時是減函式，則f(1
三、解答題
9．畫出函式y＝－x2＋2|x|＋3的圖象，並指出函式的單調區間．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函式，且a求證：f(g(x))在(a，b)上也是增函式．
11．已知f(x)＝，試判斷f(x)在[1，＋∞)上的單調性，並證明．
能力提公升
12．定義在r上的函式f(x)滿足：對任意實數m，n總有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且當x>0時，0(1)試求f(0)的值；
(2)判斷f(x)的單調性並證明你的結論．
13．函式f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函式，對任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函式的單調區間必須是定義域的子集．因此討論函式的單調性時，必須先確定函式的定義域．
2．研究函式的單調性，必須注意無意義的特殊點，如函式f(x)＝在(－∞，0)和(0，
＋∞)上都是減函式，但不能說函式f(x)＝在定義域上是減函式．
3．求單調區間的方法：(1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函式的單調性．
4．用單調性的定義證明函式的單調性分四個主要步驟：
即「取值——作差變形——定號——判斷」這四個步驟．
若f(x)>0，則判斷f(x)的單調性可以通過作比的方法去解決，即「取值——作比變形——與1比較——判斷」．
§1.3 函式的基本性質
1．3.1 單調性與最大(小)值
第1課時函式的單調性
知識梳理
1．(1)增函式 (2)減函式 (3)增函式減函式 (嚴格的)單調性單調區間 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作業設計
1．b2．a [由題意知y＝f(x)在區間(a，b)上是增函式，因為x2>x1，對應的f(x2)>f(x1)．]
3．d [∵f(x)在[a，b]上單調，且f(a)·f(b)<0，
∴①當f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)<0，f(b)>0，
②當f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)>0，f(b)<0，
由①②知f(x)在區間[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]
4．c [如圖所示，該函式的對稱軸為x＝3，根據圖象可知函式在(2,4)上是先遞減再遞增的．]
5．c [由函式單調性的定義可知，若函式y＝f(x)在給定的區間上是增函式，則x1－x2與f(x1)－f(x2)同號，由此可知，選項a、b、d正確；對於c，若x16．a [該函式的定義域為(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函式f(x)＝x2＋2x－3的對稱軸為x＝－1，由函式的單調性可知該函式在區間(－∞，－3]上是減函式．]
7．m>0
解析由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是r上的減函式得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，
由題意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.函式圖象如圖所示．
函式在(－∞，－1]，[0,1]上是增函式，
函式在[－1,0]，[1，＋∞)上是減函式．
∴函式y＝－x2＋2|x|＋3的單調增區間是(－∞，－1]和[0,1]，
單調減區間是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．證明設a∵g(x)在(a，b)上是增函式，∴g(x1)且a∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函式．
11．解函式f(x)＝在[1，＋∞)上是增函式．
證明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1則f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函式f(x)在[1，＋∞)上是增函式．
12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因為f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函式f(x)在r上單調遞減．
任取x1，x2∈r，且設x1在已知條件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
則已知條件可化為f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由於x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，則得f(x)·f(－x)＝1.
當x>0時，01>0，
又f(0)＝1，所以對於任意的x1∈r均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的減函式，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集為．
課時目標 1.理解函式的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.體會函式的最大(小)值與單調性之間的關係.3.會求一些簡單函式的最大(小)值．
1 3 函式的基本性質
1.3 函式的基本性質 1 已知是定義上的奇函式，且在上是減函式 下列關係式中正確的是2 如果奇函式在區間 3，7 上是增函式且最小值為5，那麼在區間上是 增函式且最小值為增函式且最大值為 減函式且最小值為減函式且最大值為 3 下列函式中，在區間 0，2 上為增函式的是ab cd 4 對於定義域是r...
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...
函式的基本性質
個性化教學輔導教案 學科 數學任課教師 劉興峰授課日期 2012年月日 星期 知識點概述 1 函式的概念 設 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應 包括集合，以及到的對應法則 叫做集合到的乙個函式，記作 函式的三要素 定義域 ...