高中數學必修一集合與函式基本性質知識點分析（講義）
一、集合
一）集合的有關概念
1. 關於集合的元素的特徵
（1）元素的確定性：（2）元素的互異性：（3）元素的無序性：
2. 元素與集合的關係；屬於a∈a，不屬於aa
二）集合的表示方法：列舉法；描述法；圖示法；符號簡記法。
三）集合的基本關係：
1、集合與集合之間的「包含」關係；
2、集合與集合之間的 「相等」關係；
，則中的元素是一樣的，因此
即3、真子集的概念
4、空集的概念：不含有任何元素的集合稱為空集，記作：
規定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
5、結論：
1）、 ，且，則
2）、點集與數集的交集是. （例：a = b= 則a∩b =）
一般地，含n(n≠0)個元素的集合的所有子集的個數是，所有真子集的個數是-1，非空真子集的個數為
四）集合的基本運算：
1. 並集：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集
記作：a∪b；a∪b=
venn圖表示：
2. 交集：
一般地，由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集（intersection）。
記作：a∩b；a∩b=
交集的venn圖表示
3. 補集：全集：
一般地，如果乙個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集（universe），通常記作u。補集：對於全集u的乙個子集a，由全集u中所有不屬於集合a的所有元素組成的集合稱為集合a相對於全集u的補集（complementary set）,簡稱為集合a的補集，
記作：cua；cua= 說明：補集的概念必須要有全集的限制
補集的venn圖表示
4. 集合基本運算的一些結論：
交集：a∩ba， a∩bb， a∩a=a， a∩=, a∩b=b∩a
並集：aa∪b， ba∪b， a∪a=a， a∪=a, a∪b=b∪a
補集（cua）∪a=ucua）∩a=
若a∩b=a，則ab，反之也成立若a∪b=b，則ab，反之也成立
若x∈（a∩b），則x∈a且x∈b若x∈（a∪b），則x∈a，或x∈b
6．摩根反演律：（a∩b）∪c = （a∪c）∩（a∪c）
（a∪b）∩c = （a∩c）∪（a∩c）
〖1.2〗函式及其表示
【1.2.1】函式的概念
（1）函式的概念
①設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的乙個函式，記作．
②函式的三要素:定義域、值域和對應法則．
③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函式才是同一函式．
（2）區間的概念及表示法
①設是兩個實數，且，
滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；
滿足的實數的集合叫做開區間，記做；
滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；
滿足的實數的集合分別記做．
注意：對於集合與區間，前者可以大於或等於，而後者必須．
（3）求函式的定義域時，一般遵循以下原則：
①是整式時，定義域是全體實數．
②是分式函式時，定義域是使分母不為零的一切實數．
③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．
④對數函式的真數大於零，當對數或指數函式的底數中含變數時，底數須大於零且不等於1．
⑤中，．
⑥零（負）指數冪的底數不能為零．
⑦若是由有限個基本初等函式的四則運算而合成的函式時，則其定義域一般是各基本初等函式的定義域的交集．
⑧對於求復合函式定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函式的定義域應由不等式解出．
⑨對於含字母引數的函式，求其定義域，根據問題具體情況需對字母引數進行分類討論．
⑩由實際問題確定的函式，其定義域除使函式有意義外，還要符合問題的實際意義．
（4）求函式的值域或最值
求函式最值的常用方法和求函式值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函式的值域中存在乙個最小（大）數，這個數就是函式的最小（大）值．因此求函式的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函式值域與最值的常用方法：
①觀察法：對於比較簡單的函式，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．
②配方法：將函式解析式化成含有自變數的平方式與常數的和，然後根據變數的取值範圍確定函式的值域或最值．
③判別式法：若函式可以化成乙個係數含有的關於的二次方程，則在時，由於為實數，故必須有，從而確定函式的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式確定函式的值域或最值．
⑤換元法：通過變數代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函式的最值問題轉化為三角函式的最值問題．
⑥反函式法：利用函式和它的反函式的定義域與值域的互逆關係確定函式的值域或最值．
⑦數形結合法：利用函式圖象或幾何方法確定函式的值域或最值．
⑧函式的單調性法．
【1.2.2】函式的表示法
（5）函式的表示方法
表示函式的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
解析法：就是用數學表示式表示兩個變數之間的對應關係．
列表法：就是列出**來表示兩個變數之間的對應關係．
圖象法：就是用圖象表示兩個變數之間的對應關係．
（6）對映的概念
①設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的對映，記作．
②給定乙個集合到集合的對映，且．如果元素和元素對應，那麼我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函式的基本性質
【1.3.1】單調性與最大（小）值
（1）函式的單調性
①定義及判定方法
②在公共定義域內，兩個增函式的和是增函式，兩個減函式的和是減函式，增函式減去乙個減函式為增函式，減函式減去乙個增函式為減函式．
③對於復合函式，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．
（2）打「√」函式的圖象與性質
分別在、上為增函式，分別在、上為減函式．
（3）最大（小）值定義
①一般地，設函式的定義域為，如果存在實數滿足：
（1）對於任意的，都有；
（2）存在，使得．
那麼，我們稱是函式的最大值，記作．
②一般地，設函式的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對於任意的，都有；（2）存在，使得．那麼，我們稱是函式的最小值，記作．
【1.3.2】奇偶性
（4）函式的奇偶性
①定義及判定方法
②若函式為奇函式，且在處有定義，則．
③奇函式在軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函式在軸兩側相對稱的區間增減性相反．
④在公共定義域內，兩個偶函式（或奇函式）的和（或差）仍是偶函式（或奇函式），兩個偶函式（或奇函式）的積（或商）是偶函式，乙個偶函式與乙個奇函式的積（或商）是奇函式．
【1.3.3】週期性
（1）定義：如果存在使得對於函式定義域內的任意x，都有f(x+t)= f(x)的非零常數t，則稱f(x)為週期函式；
（2）性質：
①f(x+t)= f(x)常常寫作若f(x)的週期中，存在乙個最小的正數，則稱它為f(x)的最小正週期；②若週期函式f(x)的週期為t，則f(ωx)（ω≠0）是週期函式，且週期為。
高考《函式及其基本性質》考點解析
考點一：函式定義域
1、函式的定義域是（ ）
a. b. ( -1 , 1 ) c. [ -1 , 1 ] d. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ )
2、考點二：函式值域
1、①， x∈ ( 觀察法 )
②，x配方法 ：形如)
換元法：形如)
分離常數法：形如)
判別式法：形如)
2、設函式，，則的值域是
（a）（b）（c）（d）
考點三：分段函式
1、已知函式，求f（1）+f（）的值
2、已知函式，求f [f（）]的值
3、已知函式若，則實數a＝ .
4、已知函式,則滿足不等式的x的範圍是_ _
考點四：函式單調性（最值）、函式奇偶性
1. 如果函式在區間上是減函式，那麼實數a的取值範圍是
2. 如果二次函式在區間上是增函式，的取值範圍
3． （2008全國ⅱ）函式的影象關於
a．軸對稱b． 直線對稱
c． 座標原點對稱d． 直線對稱
4．二次函式是偶函式，則函式的增區間為
a． bc． d．
5. 下列函式中, 是奇函式且在上為增函式的是
a． b． c． d．
6．（2023年寧夏）設函式為奇函式，則實數
7．若函式為偶函式，則
8．已知偶函式在上為增函式，且，解不等式：．
9． 設奇函式在上為增函式，且，則的解集為（ ）
a． b． c． d．
10．設偶函式在上為減函式，則不等式的解集是
11．函式在區間[2，3]上的最大值為
二次函式問題、函式影象問題等考點均滲透在以上考點中。
基本初等函式
函式及其基本性質知識點總結
1.2 函式及其表示 1.2.1 函式的概念 1 函式的概念 設 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應 包括集合，以及到的對應法則 叫做集合到的乙個函式，記作 函式的三要素 定義域 值域和對應法則 只有定義域相同，且對應法則也...
函式的基本性質知識點總結
3 設復合函式y f g x 其中u g x a是y f g x 定義域的某個區間，b是對映g x u g x 的象集 若u g x 在 a上是增 或減 函式，y f u 在b上也是增 或減 函式，則函式y f g x 在a上是增函式 若u g x 在a上是增 或減 函式，而y f u 在b上是減 ...
函式的基本性質總結及其應用
13 已知是指數函式，且則 14 已知函式的值域是，求函式的定義域。15 設f x 在 2，1 上為減函式，最小值為3，且f x 為偶函式，則f x 在 1,2 上 a 為減函式，最大值為3 b 為減函式，最小值為 3 c 為增函式，最大值為 3 d 為增函式，最小值為3 16 設f x 為定義在r...