第五講：函式及其基本性質
1、在某個變化過程中有兩個變數x、y，如果對於x在某個實數集合d內的每乙個確定的值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的實數值與它對應，那麼y就叫做x的函式，記作
y=f（x），，x叫做自變數，x的取值範圍d叫做函式的定義域；和x的值相對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域.
2、對於函式y=f（x），設它的定義域為d，值域為a，如果對a中任意乙個值y，在d中總有唯一確定的x值與它對應，使y=f（x），這樣得到的x關於y的函式叫做y=f（x）的反函式，記作，習慣上，自變數常用x表示，而函式用y表示，所以把它改寫為
提示：函式是高中數學的一條主線
三種對應法則：①一對一；②多對一；③一對多
三要素：①定義域；②對應法則；③值域
函式的圖象和它的反函式的圖象是以直線y=x為對稱軸的軸對稱圖形.
3、已知兩個函式則y=f（x）+g（x）與
，分別稱為兩個函式的和與積.
提示：求完函式的和與積，不要忘了其定義域。
4、如果對於函式f（x）的定義域d內的任意實數a，都有f（-a）=-f（a），那麼，稱函式
f（x）為奇函式；如果對於函式f（x）的定義域d內任意實數a，都有f（-a）=f（a），那麼稱f（x）為偶函式。函式定義域d關於原點對稱是這個函式為奇函式（偶函式）的必要條件。
除了用定義判斷奇偶性，還可以通過比值形式來判斷函式奇偶性：
奇函式：；
偶函式：。
奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於y軸對稱。
奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於y軸對稱。
提示：研究函式奇偶性，可以起到事半功倍的效果。
5、對於給定區間上的函式f（x），如果對於屬於這個區間的自變數的任意兩個值,當
時，都有，那麼就說函式f（x）在這個區間上是增函式；當時，都有，那麼就說函式f（x）在這個區間上是減函式。如果函式f（x）在
這個區間上是增函式或減函式，那麼就說函式f（x）在這一區間是單調函式，這個區間叫做函式f（x）的單調區間。
6、對於函式，如果存在乙個非零實數t，使得x取d內的每乙個值時，都有等式f（x+t）=f（x），那麼這個函式f（x）叫做週期函式，常數t叫做函式f（x）的週期。（）對於乙個週期函式f（x）來說，如果在所有的週期中存在乙個最小的正數，那麼這個最小的正數叫做這個函式的最小正週期。
例題1、求下列函式的定義域：
提示：思考問題,要先從整體入手，再落實到區域性，細節，這樣解題才比較有條理。
例題2、求下列函式的值域：
求值域方法歸納：二次函式用配方法；判別式法；幾何法；不等式法；利用函式單調性；利用反函式；換元法。
思考：如果改成應該怎麼解呢？
解析：除了原來的換元法，還可以用函式單調性法，整個函式是單調遞增函式，所以只要先確定定義域，就可以直接給出結果。
例題3、判斷下列函式的奇偶性：
函式的定義域關於原點對稱.
所以，函式f（x）是奇函式。
提示：對於不容易觀察出奇偶性的函式，可以通過觀察的結果來判斷
（2）函式的定義域為[-1,0)∪(01]關於原點對稱，
所以，函式f（x）是奇函式。
（3）函式的定義域為關於原點對稱。
即，所以函式f（x ）是奇函式。
提示：對於不容易觀察出奇偶性的函式，也可以通過觀察的結果來判斷
例題4、（2009全國試題）函式的定義域為r，若與都是奇函式，則( )
(a)是偶函式 (b)是奇函式 (c) (d)是奇函式
解: 與都是奇函式，
，對於①式用替換可得
，，可見週期為4，，，即是奇函式。故選d
小結：抽象函式的考查，通常是從函式的性質入手，特別是函式的週期性，奇偶性，對稱性。難點在於如何利用已知的關係式以及相互間的代換來達到目的。
（1）求週期，那麼變換出f(x+t)=f(x)；
（2）求關於x=a對稱，那麼變換出f(a+x)=f(a-x)；
（3）求奇偶性，則變換出f(-x)=±f(x)
例題5、已知函式的反函式，記，求g（x）的最小值。
例題6、已知函式,求函式f(x)的定義域,並討論它的奇偶性和單調性.
重要提示：研究函式奇偶性，可以起到事半功倍的效果。
例7、已知函式，常數．
（1）討論函式的奇偶性，並說明理由；
（2）若函式在上為增函式，求的取值範圍．
解：解：（1）當時，，
對任意，，為偶函式．
當時，，
取，得，
，函式既不是奇函式，也不是偶函式．
提示：說明函式非奇非偶，可以舉反例。
（2）設，
，要使函式在上為增函式，必須恆成立．
，即恆成立．
又，．的取值範圍是．
例8、若的圖象與x軸有且只有乙個交點，則實數a的值等於
解:由是偶函式,則只有的交點,令得或.
提示：對於不規則函式，要從基本性質出發。
解法二:數形結合
則只要曲線只有乙個交點即可，所以。
例9（2009上海高考題）（1）、某地街道呈現東—西、南—北向的網格狀，相鄰街距都為1．兩街道相交的點稱為格點．若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角座標系，現有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）為報刊零售點，請確定乙個格點（除零售點外為發行站，使6個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短．
解：設滿足題意的格點為，由題意要使該點到6個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短．即求為最小時的值。又因為上式去掉絕對值為一次函式，取到最值只是區間的端點值，因此只需代入，選擇最小的值即可。
通過比較得到為所求格點的橫座標；同理求，也代入上式為最小時，比較後得到。所求的格點為（3，3）
例9的另一種思路：
先討論實數軸上的點到1，2，3，4，5的距離之和最小時，為多少（取整數點）？通常會想到，這確實是答案，但為什麼呢？
假設到（，這些數都是整數）的距離為，當時，，若，則各個距離為
總和比原來的增加1；同理若，距離總和也比原來的增加1。可見當，距離之和最小，正好是該陣列的中位數。
所以，對於本題，只要找出各點橫座標和縱座標的中位數就可以。可得點(3,3)和(3,4)滿足，又因為(3,4)是其中的點，排除，所以只能取(3,3)。
（2）（2009上海高考題）將函式（）的影象繞座標原點逆時針方向旋轉角，，得到曲線．若對於每乙個旋轉角，曲線都是乙個函式的影象，則的最大值為
解法一：，代數法，設過原點的直線為，代入方程，
即整理後可得：
若直線與該曲線相切，則
此時直線與軸的夾角為，與軸的夾角為，要繞座標原點逆時針方向旋轉角，曲線都是乙個函式的影象，即切線與軸重合。所以的最大值為
解法二：幾何法，，，表示x軸上面的弧，如圖所示，影象繞座標原點逆時針方向旋轉，可以以左端點的切線方向為參考旋轉，當切線剛好與y軸重合時，旋轉角達到最大值，，所以答案是。
例10、（2009上海高考題）已知函式的反函式，定義：若對給定的實數，函式
互為反函式，則稱滿足「a和性質」；若函式
與互為反函式，則稱滿足「a積性質」。
（1）判斷函式是否滿足「1和性質」，並說明理由；
（2）求所有滿足「2和性質」的一次函式；
分析（1）先求出的反函式，然後再代入得出函式值；（2）用待定係數法求解；（3）通過原函式與反函式之間點的對稱性，建構函式等式求解。
解析：（1）函式的反函式是，
，而，其反函式為，故函式不滿足「1和性質」
（2）設函式滿足「2和性質」，
,∴而,得反函式
由「2和性質」定義可知對恆成立。
，即所求一次函式為
例11、設，
1 判斷並證明的奇偶性；
2 分別計算的值，並判斷它們之間的關係，由此推出乙個一般的關係式並給出證明；
函式基本性質
數學1必修 第一章 下 函式的基本性質 基礎訓練a組 一 選擇題 1 已知函式為偶函式，則的值是 a.b.c.d.2 若偶函式在上是增函式，則下列關係式中成立的是 a b c d 3 如果奇函式在區間上是增函式且最大值為，那麼在區間上是 a 增函式且最小值是 b 增函式且最大值是c 減函式且最大值是...
函式的基本性質總結及其應用
13 已知是指數函式，且則 14 已知函式的值域是，求函式的定義域。15 設f x 在 2，1 上為減函式，最小值為3，且f x 為偶函式，則f x 在 1,2 上 a 為減函式，最大值為3 b 為減函式，最小值為 3 c 為增函式，最大值為 3 d 為增函式，最小值為3 16 設f x 為定義在r...
函式基本性質講義
1.對映的定義 對於集合a中任何乙個元素在集合b中都有唯一的元素與之對應，那麼這樣的對應叫做集合a到集合b的對映，記作 其中a中的元素叫做原象，b中的元素叫做象，叫做對應關係 或對應法則 2.函式定義 對於數集a中任何乙個元素在數集b中都有唯一的元素與之對應，那麼這樣的對應叫做集合a到集合b的函式，...