不等式證明典型例題

例1　已知，求證：．

證明　∵

∴，當且僅當時等號成立．

點評在利用差值比較法證明不等式時，常採用配方的恒等變形，以利用實數的性質．

例2　已知均為正數，且兩兩不等，求證.

分析由於所證不等式兩端都是冪和積的形式，且為正數，可選用商值比較法.

證明為不等正數，不失一般性，設，

這時，.

由指數函式的性質可知

所以.即.

例3　已知，

求證：．

分析不等式的左端是根式，而右端是整式，應設法通過適當的放縮變換將左式各根式的被開方式轉化為完全平方式．

證明　∵，

∴．即．兩邊開方，得．

同理可得．．

三式相加，得．

例4　設，求證：

分析當所證結論在形式上比較繁雜時，一般都可採用分析法.

證明要證明

只要證 ，

因為，故只要證

由於函式在上是減函式，

故只要證，

即證只要證即證這是顯然成立的，故原不等式成立.

點評分析法是一種不斷探求要證明不等式成立的充分條件的方法，表述證明過程時應予以注意.

例5　已知都是正數，求證：

（1）（2）分析用綜合法證明.

證明　（1）∵ 都是正數，則，

即（2）∵ 都是正數，則，

∴點評用不等式的平均值定理證明不等式時，要注意定理的條件，還要注意為運用定理而作出的適當變形.

例6　　已知，且，

求證：（1）；（2）

證明　（1）∵ ，∴

（2）點評其中的放縮是以給出的條件或已證結果被運用作為思考的目標.

不等式證明例題講解

例1 已知a，b r，求證a2 b2 ab a b 1 證明 a2 b2 ab a b 1 a2 b2 ab a b 1，當且僅當a b 1時等號成立 評述這是乙個用求差比較法證明的不等式，對差式的變形是拆項和配方，以利用實數的性質 a2 0 此不等式的證明還可採用函式的方法 設f a a2 b2 ...

高中數學不等式證明典型例題

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黃岡中學高考數學典型例題18不等式的證明策略

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