班級_______ 姓名_______ 時間：45分鐘分值：75分總得分_______
一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上．
1．(2011·江西)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72011的末兩位數字為( )
a．01b．43
c．07 d．49
解析：∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543…由此可知數列的每項末兩位數字每隔4項出現一項迴圈，又2011＝(4×502＋2)＋1，
∴72011的末兩位數字為43.
答案：b
2．(2011·鄭州市高中畢業班質量**)已知a，b，c∈r＋，若<<，則( )
a．cc．a解析：由已知得c(b＋c)0，因此有c－a<0，a－b<0，故c答案：a
3．(2011·四川省綿陽市高三診斷性測試)記a＝
sin(cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，則a、b、c、d中最大的是( )
a．a b．b c．c d．d
解析：注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－，cos2010°＝－cos30°＝－，－ <－<0，－<－<0,0<<<，cos>cos>0，a＝sin＝－sin<0，b＝sin
＝－sin<0，c＝cos＝cos>d
＝cos＝cos>0，因此選c.
答案：c
4．(2011·江西師大附中、臨川一中高三聯考)若實數a，b，c成公差不為0的等差數列，則下列不等式不成立的是( )
a．|b－a＋|≥2 b．a3b＋b3c＋c3a≥a4＋b4＋c4
c．b2>ac d．|b|－|a|≤|c|－|b|
解析：設等差數列a，b，c的公差為d(d≠0)，則|b－a＋|＝|d＋|＝|d|＋||≥2＝2，因此a成立；b2－ac＝2－ac＝>0，因此c成立；由2b＝a＋c得|2b|＝|a＋c|≤|c|＋|a|，即|b|－|a|≤|c|－|b|，因此d成立；對於b，當a＝－1，b＝－2，c＝－3時，a3b＋b3c＋c3a＝53，a4＋b4＋c4＝98，此時b不成立．綜上所述，選b.
答案：b
5．(2011·西安市五校第一次模擬考試)已知「整數對」按如下規律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個數對是( )
a．(7,5) b．(5,7)
c．(2,10) d．(10,1)
解析：依題意，就每組整數對的和相同的分為一組，不難得知每組整數對的和為n＋1，且每組共有n個整數對，這樣的前n組一共有個整數對，注意到<60<，因此第60個整數對處於第11組(每對整數對的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每對整數對的和為12的組中的各對數依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個整數對是(5,7)，選b.
答案：b
6．(2011·江蘇鎮江模擬)用反證法證明命題：「三角形的內角中至少有乙個不大於60度」時，假設正確的是( )
a．假設三內角都不大於60度
b．假設三內角都大於60度
c．假設三內角至多有乙個大於60度
d．假設三內角至多有兩個大於60度
解析：根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，即「三內角都大於60度」．故選b.
答案：b
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．
7．(2011·南昌一模)觀察下列等式：
12＝1
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…，由以上等式推測到乙個一般的結論：對於n∈n*，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
解析：注意到第n個等式的左邊有n項，右邊的結果的絕對值恰好等於左邊的各項的所有底數的和，即右邊的結果的絕對值等於1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結果的符號的規律是：當n為奇數時，符號為正；當n為偶數時，符號為負，因此所填的結果是(－1)n＋1.
答案：(－1)n＋1
8．(2011·東北三省四市教研聯合體等值模擬診斷)設s、v分別表示面積和體積，如△abc面積用s△abc表示，三稜錐o－abc的體積用vo－abc表示．對於命題：如果o是線段ab上一點，則||·＋||·＝0.將它模擬到平面的情形是：
若o是△abc內一點，有s△obc·＋s△oca·＋s△oba·＝0.將它模擬到空間的情形應該是：若o是三稜錐a－bcd內一點，則有
解析：由模擬思想可得結論．
答案：vo－bcd·＋vo－acd·＋vo－abd·＋vo－abc·＝0
9．(2011·蘇北四市調研(三))已知扇形的圓心角為2α(定值)，半徑為r(定值)，分別按圖1、圖2作扇形的內接矩形，若按圖1作出的矩形的面積的最大值為r2tanα，則按圖2作出的矩形的面積的最大值為________．
解析：將圖1沿水平邊翻摺作出如圖所示的圖形，則內接矩形的最大面積s＝2·r2·tanα＝r2·tanα，所以圖2中內接矩形的面積的最大值為r2tan.
答案：r2tan
10．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6 (a，t均為正實數)，模擬以上等式，可推測a，t的值，則a＋t
解析：根據題中所列的前幾項的規律可知其通項應為＝n，所以當n＝6時，a＝6，t＝35，所以a＋t＝41.
答案：41
三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
11．(12分)已知正數數列的前n項和為sn，且4an－2sn＝1，數列滿足bn＝2logan，n∈n*.
(1)求函式的通項公式an與的前n項和tn；
(2)設數列{}的前n項和為un，求證：0解：(1)易得a1＝.
當n≥2時，4an－2sn＝1
4an－1－2sn－1＝1
①－②得2an－4an－1＝0an＝2an－1，
∴＝2(n≥2)，
∴數列是以a1＝為首項，2為公比的等比數列，
∴an＝2n－2，a1＝也適合此式，故an＝2n－2.
從而bn＝4－2n，其前n項和tn＝－n2＋3n.
(2)證明：∵為等比數列，為等差數列，＝.
∴unun
③－④得un＝4－－－－…－－，
∴un＝.
易知u1＝u2＝4，當n≥3時，un－un－1＝<0，
∴當n≥3時，數列是遞減數列，
∴0綜上，012．(13分)在數列中，a1＝3，a2＝3，且數列是公比為2的等比數列，數列是公比為－1的等比數列，n∈n*.
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：當k為正奇數時，＋<；
(3)求證：當n∈n*時，＋＋＋…＋＋<1.
解：(1)依題意有
an＋1－2an＝(a2－2a1)(－1)n－1＝3(－1)n，
an＋1＋an＝(a2＋a1)·2n－1＝3·2n，
兩式相減有an＝2n＋(－1)n＋1，n∈n*.
(2)證明：當k為正奇數時，＋＝＋＝<
(3)證明：＋＋＋…＋＋
＝＋＋…＋
<＋＋…＋＝1－<1，n∈n*.
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