(時間：120分鐘，滿分：150分)
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在△abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c.若∠c＝120°，c＝a，則( )
a．a>b
b．ac．a＝b
d．a與b的大小關係不能確定
解析：在△abc中，由餘弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.將c＝a代入上式，得2a2＝a2＋b2＋ab，從而a2＝b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
答案：a
2．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，e＝(1,0)，若a≠b，|a－b|＝r，且a－b與e的夾角為，則x1－x2＝( )
a．r b．± r
c．± rd. r
解析：∵a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
又a－b與e的夾角為，|a－b|＝r，
∵cos〈a－b，e〉＝，即cos＝，
故x1－x2＝.
答案：d
3．設向量a＝(1,0)，b＝，則下列結論中正確的是( )
a．|a|＝|bb．a·b＝
c．a－b與b垂直d．a∥b
解析：a＝(1,0)，b＝，∴|a|＝1，|b|＝＝，∴a錯誤；∵a·b＝1×＋0×＝，∴b錯誤；
∵a－b＝，∴(a－b)·b＝×－×＝0，∴c正確；∵1×－0×＝≠0，∴d錯誤．
答案：c
4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實數λ的值為( )
ab.cd.
解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，
a－2b＝(－1,2)，
因為兩個向量垂直，
故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，
解得λ＝－.
答案：a
5．設點m是線段bc的中點，點a在直線bc外， 2＝16，|＋|＝|－|，則||＝( )
a．8b．4
c．2d．1
解析：∵ 2＝16，∴||＝4.又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4.
∵m為bc中點，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.
答案：c
6.已知函式y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則( )
a．ω＝1，φ＝
b．ω＝1，φ＝－
c．ω＝2，φ＝
d．ω＝2，φ＝－
解析：由圖象知＝－＝，∴t＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈z)，φ＝kπ－(k∈z)．
又|φ|<，∴φ＝－.
答案：d
7．e，f是等腰直角△abc斜邊ab上的三等分點，則tan∠ecf＝( )
ab.cd.
解析：如圖，取ab中點d，連線cd，則cd⊥ab，且de＝df.設∠ecf＝α，ab＝1，則∠dce＝，cd＝，de＝.
∴tan＝＝＝.
∴tan α＝＝.
答案：d
8．平面上o，a，b三點不共線，設＝a，＝b，則△oab的面積等於( )
a. b.
c. d.
解析：如圖所示，
s△oab＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝，故選c.
答案：c
9．若cos α＝－，α是第三象限的角，則＝( )
ab.c．2d．－2
解析：∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝＝·＝
＝＝－.
答案：a
10．設向量a，b滿足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為( )
a．3b．4
c．5d．6
解析：對於半徑為1的圓有乙個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，對於圓的位置稍右移或其他的變化，能實現4個交點的情況，但5個以上的交點不能實現．
答案：b
11．已知圓o的半徑為1，pa、pb為該圓的兩條切線，a、b為兩切點，那麼·的最小值為( )
a．－4b．－3＋
c．－4＋2d．－3＋2
解析：如圖，設|pa|＝|pb|＝k，
∠apo＝α，∠apb＝β，
則sin α＝，
cos α＝，
cos β＝cos 2α＝.
∴·＝k2cos β＝k2·.
設t＝k2＋1，則t>1，∴·＝＝＝t＋－3≥2－3，當且僅當t＝時取等號．
答案：d
12．已知函式f(x)＝sin(ωx＋)(x∈r，ω>0)的最小正週期為π，為了得到函式g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象( )
a．向左平移個單位長度
b．向右平移個單位長度
c．向左平移個單位長度
d．向右平移個單位長度
解析：因為t＝π，則ω＝＝2，f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝cos 2x.將y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度時，y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos 2x.
答案：a
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，則tan
解析：∵tan(π＋2α)＝－，∴tan 2α＝－＝，
∴tan α＝－或tan α＝2.
又α在第二象限，∴tan α＝－.
答案：－
14．(2023年高考江蘇卷)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實數k的值為________．
解析：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋(1－2k)e1·e2－2e22＝k－2＋(1－2k)cos＝2k－，∵a·b＝0，∴2k－＝0，即k＝.
答案：15．(2023年高考天津卷)已知直角梯形abcd中，ad∥bc，∠adc＝90°，ad＝2，bc＝1，p是腰dc上的動點，則|＋3|的最小值為________．
解析：方法一以d為原點，分別以da、dc所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角座標系，設dc＝a，dp＝x.
∴d(0,0)，a(2,0)，c(0，a)，b(1，a)，
p(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5,3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值為5.
方法二設＝x (0∴＝(1－x)，
＝－＝－x，
＝＋＝(1－x)＋，
∴＋3＝＋(3－4x)，
|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值為5.
答案：5
16．(2023年高考安徽卷)已知向量a、b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________．
解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6得a2－2b2＋a·b＝－6.
∵|a|＝1，|b|＝2，
∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6，
∴cos〈a，b〉＝.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
答案：三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)設函式f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x,1)，x∈r，且函式y＝f(x)的圖象經過點(，2)．
(1)求實數m的值；
(2)求函式f(x)的最小值及此時x值的集合．
解析：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x，
由已知f()＝m(1＋sin)＋cos＝2，得m＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋sin(2x＋)，
∴當sin(2x＋)＝－1時，f(x)取得最小值1－.
由sin(2x＋)＝－1，得x值的集合為：
.18．(12分)(2023年高考浙江卷)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知sin a＋sin c＝psin b(p∈r)，且ac＝b2.
(1)當p＝，b＝1時，求a，c的值；
(2)若角b為銳角，求p的取值範圍．
解析：(1)由題設並由正弦定理，得
解得或(2)由餘弦定理得b2＝a2＋c2－2accos b
＝(a＋c)2－2ac－2accos b
＝p2b2－b2－b2cos b，即p2＝＋cos b.
因為00，
所以19．(12分)(2023年高考北京卷)已知函式
f(x)＝4cos xsin－1.
(1)求f(x)的最小正週期；
(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值．
解析：(1)因為f(x)＝4cos xsin－1
＝4cos x－1
＝sin 2x＋2cos2 x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
所以f(x)的最小正週期為π.
(2)因為－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
於是，當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值2；
當2x＋＝－，即x＝－時，f(x)取得最小值－1.
20．(12分)(2023年高考大綱全國卷)△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.已知a－c＝90°，a＋c＝b，求c.
解析：由a＋c＝b及正弦定理可得sin a＋sin c＝sin b.
又由於a－c＝90°，b＝180°－(a＋c)，
故cos c＋sin c＝sin (a＋c)＝sin (90°＋2c)＝cos 2c.
即cos c＋sin c＝cos 2c，cos (45°－c)＝cos 2c.
因為0°21．(12分)(2023年高考廣東卷)已知函式f(x)＝
2sin，x∈r.
(1)求f的值；
(2)設α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
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