i 卷一、選擇題
1．把1,3,6,10,15,21,…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以排成乙個正三角形（如圖），試求第七個三角形數是
a．27 b．28 c．29 d．30
【答案】b
2．在證明f(x)＝2x＋1為增函式的過程中，有下列四個命題：①增函式的定義是大前提；②增函式的定義是小前提；③函式f(x)＝2x＋1滿足增函式的定義是小前提；④函式f(x)＝2x＋1滿足增函式的定義是大前提．其中正確的命題是( )
a．①② b．②④
c．①③ d．②③
【答案】c
3． 對於函式，若存在區間，使得，則稱區間為函式的乙個「穩定區間」．現有四個函式：
其中存在「穩定區間」的函式有（ ）
a．①② b．②③ c．③④ d．②④
【答案】b
4．如圖，乙個質點在第一象限運動，在第一秒鐘它由原點運動到點(0,1)，而後按圖所示在與x軸、y軸平行的方向運動，且每秒移動乙個單位長度，那麼經過2000秒後，這個質點所處的位置的座標是( )
a．(24,24) b．(24,44)
c．(44,24) d．(44,44)
【答案】c
5．由…若a>b>0,m>0,則與之間大小關係為 ( )
a．相等 b．前者大 c．後者大 d．不確定
【答案】b
6．觀察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，則52011 的末四位數字為( )
a．3125 b．5625
c．0625 d．8125
【答案】d
7．「因為指數函式y＝ax是增函式(大前提)，而y＝x是指數函式(小前提)，所以y＝x是增函式(結論)」，上面推理的錯誤是( )
a．大前提錯導致結論錯
b．小前提錯導致結論錯
c．推理形式錯導致結論錯
d．大前提和小前提錯都導致結論錯
【答案】a
8． 「所有9的倍數都是3的倍數，某奇數是9的倍數，故該奇數是3的倍數．」上述推理（ ）
a．小前提錯 b．結論錯 c．正確 d．大前提錯
【答案】c
9．下列推理是歸納推理的是
a．a，b為定點，動點p滿足|pa|+|pb|=2a>|ab|,得p的軌跡為橢圓
b．由a1=a,an=3n-1,求出s1,s2,s3,猜想出數列的前n項和sn的表示式
c．由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積s=πab
d．科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇
【答案】b
10．已知數列依它的前10項的規律，這個數列的第2011項a2011滿足( )
a．0c．1≤a2011≤10 d．a2011>10
【答案】a
11．某同學在電腦上打出如下若干個圈：
若將此若干個圈依此規律繼續下去，得到一系列的圈，那麼在前2 009個圈中●的個數是（ ）
a．60 b．61 c．62 d．63
【答案】c
12．已知數列滿足遞推式(n＋1)an＝nan＋1，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an＝( )
a．n b．
c． d．
【答案】a
ii卷二、填空題
13． 在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n
【答案】3
14．已知a＋b＋c＝0，且a、b、c不同時為零，則ab＋bc＋ca的值的符號為______．(填「正」或「負」)
【答案】負
15．在公比為4的等比數列中，若tn是數列的前n項積，則有，，仍成等比數列，且公比為4100；模擬上述結論，在公差為3的等差數列中，若sn是的前n項和，則有也成等差數列，該等差數列的公差為________．
【答案】s20－s10，s30－s20，s40－s30 ，300
16．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6 (a，t均為正實數)，模擬以上等式，可推測a，t的值，則a＋t
【答案】41
三、解答題
17．已知函式f(x)＝x3，g(x)＝x＋．
(1)求函式h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數，並說明理由；
(2)設數列(n∈n*)滿足a1＝a(a>0)，f(an＋1)＝g(an)，證明：存在常數m，使得對於任意的n∈n*，都有an≤m.
【答案】(1)由h(x)＝x3－x－知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－>0，則x＝0為h(x)的乙個零點，且h(x)在(1,2)內有零點．因此，h(x)至少有兩個零點．
解法一：h′(x)＝3x2－1－x－，記φ(x)＝3x2－1－x－，則φ′(x)＝6x＋x－．
當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內至多只有乙個零點．又因為φ(1)>0，φ<0，則φ(x)在內有零點，所以φ(x)在(0，＋∞)內有且只有乙個零點．記此零點為x1，則當x∈(0，x1)時，φ(x)<φ(x1)＝0；當x∈(x1，＋∞)時，φ(x)>φ(x1)＝0.
所以，當x∈(0，x1)時，h(x)單調遞減．而h(0)＝0，則h(x)在(0，x1]內無零點；
當x∈(x1，＋∞)時，h(x)單調遞增，則h(x)在(x1，＋∞)內至多只有乙個零點，從而h(x)在(0，＋∞)內至多只有乙個零點．
綜上所述，h(x)有且只有兩個零點．
解法二：由h(x)＝x，記φ(x)＝x2－1－x－，則φ′(x)＝2x＋x－．
當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，從而φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內至多只有乙個零點．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上有乙個零點．因此h(x)在(0，＋∞)內也有乙個零點．
綜上所述，h(x)有且只有兩個零點．
(2)記h(x)的正零點為x0，即x＝x0＋．
(i)當a而a＝a1＋①當n＝1時，a1②假設當n＝k(k≥1)時，ak則當n＝k＋1時，由
a＝ak＋因此，當n＝k＋1時，ak＋1故對任意的n∈n*，an(ii)當a≥x0時，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上單調遞增，則h(a)≥h(x0)＝0，
即a3≥a＋．從而a＝a1＋＝a＋≤a3，即a2≤a.由此猜測：an≤a.下面用數學歸納法證明．
①當n＝1時，a1≤a顯然成立．
②假設當n＝k(k≥1)時，ak≤a成立，則當n＝k＋1時，由a＝ak＋≤a＋≤a3知，ak＋1≤a.
因此，當n＝k＋1時，ak＋1≤a成立．
故對任意的n∈n*，an≤a成立．
綜上所述，存在常數m＝max，使得對於任意的n∈n*，都有an≤m.
18．已知，求證：．
【答案】
要證成立
只需證成立
只需證只需證只需證
只需證只需證
而顯然成立，則原不等式得證．
19．若x，y都是正實數，且x＋y>2，
求證： <2和<2中至少有乙個成立．
【答案】假設<2和<2都不成立，
則有≥2和≥2同時成立．
因為x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，
兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
這與已知條件x＋y>2矛盾，
因此<2和<2中至少有乙個成立．
20．在數列中，a1＝3，an＝－an－1－2n＋1(n≥2且n∈n*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)證明：數列是等比數列，並求的通項公式；
(3)求數列的前n項和sn.
【答案】(1)∵a1＝3，an＝－an－1－2n＋1(n≥2，n∈n*)，
∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝1.
(2)∵＝＝＝－1，∴數列是首項為a1＋1＝4，公比為－1的等比數列．∴an＋n＝4·(－1)n－1，即an＝4·(－1)n－1－n，
∴的通項公式為an＝4·(－1)n－1－n(n∈n*)．
(3)∵的通項公式為an＝4·(－1)n－1－n(n∈n*)，
所以sn＝k＝4·(－1)k－1－k]＝4·(－1)k－1]－
＝4×－
＝2[1－(－1)n]－(n2＋n)
＝－－2(－1)n.
21．已知函式f(x)＝x3，g(x)＝x＋．
(1)求函式h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數，並說明理由；
(2)設數列(n∈n*)滿足a1＝a(a>0)，f(an＋1)＝g(an)，證明：存在常數m，使得對於任意的n∈n*，都有an≤m.
【答案】(1)由h(x)＝x3－x－知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－>0，則x＝0為h(x)的乙個零點，且h(x)在(1,2)內有零點．因此，h(x)至少有兩個零點．
解法一：h′(x)＝3x2－1－x－，記φ(x)＝3x2－1－x－，則φ′(x)＝6x＋x－．
當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內至多只有乙個零點．又因為φ(1)>0，φ<0，則φ(x)在內有零點，所以φ(x)在(0，＋∞)內有且只有乙個零點．記此零點為x1，則當x∈(0，x1)時，φ(x)<φ(x1)＝0；當x∈(x1，＋∞)時，φ(x)>φ(x1)＝0.
所以，當x∈(0，x1)時，h(x)單調遞減．而h(0)＝0，則h(x)在(0，x1]內無零點；
當x∈(x1，＋∞)時，h(x)單調遞增，則h(x)在(x1，＋∞)內至多只有乙個零點，從而h(x)在(0，＋∞)內至多只有乙個零點．
綜上所述，h(x)有且只有兩個零點．
解法二：由h(x)＝x，記φ(x)＝x2－1－x－，則φ′(x)＝2x＋x－．
當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，從而φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內至多只有乙個零點．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上有乙個零點．因此h(x)在(0，＋∞)內也有乙個零點．
2019屆高三數學二輪複習教學案 22 推理與證明
第23課時推理與證明 一 基礎練習 1 設平面內有n條直線 n 3 其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，f n 表示這n條直線交點的個數，則f 4當n 4時，f n用n表示 2 由圖 1 有面積關係 則由圖 2 有體積關係 3 用反證法證明 形如4k 3 k n 的數不能化為兩個整...
新課標 2019屆高三數學二輪限時訓練第18講概率
第18講概率 時間 5分鐘 40分鐘 基礎演練 1 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，則互斥且不對立的兩個事件是 a 至少有乙個黑球 與 都是黑球 b 至少有乙個黑球 與 都是紅球 c 至少有乙個黑球 與 至少有乙個紅球 d 恰有乙個黑球 與 恰有兩個黑球 2 甲 乙二人下棋，甲獲勝的概率...
2019屆高三數學二輪專題卷 專題三平面向量
絕密 啟用前 考試範圍 平面向量 一 選擇題 本大題共15小題，每小題5分，共75分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 已知,若，則的值為 a b 4 c d 2 2 已知 三點不共線，且點滿足0，則下列結論正確的是 a b c d 3 在三角形中，點在上，且，點是的中點，若，...