[第18講概率]
(時間：5分鐘＋40分鐘)
基礎演練
1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，則互斥且不對立的兩個事件是( )
a．「至少有乙個黑球」與「都是黑球」
b．「至少有乙個黑球」與「都是紅球」
c．「至少有乙個黑球」與「至少有乙個紅球」
d．「恰有乙個黑球」與「恰有兩個黑球」
2．甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是50%，甲不輸的概率為95%，則甲、乙二人平局的概率為( )
a．65b．35%
c．15d．45%
3．甲、乙兩名學生同時收到了a，b，c，d四所院校的面試通知，但由於這四所院校的面試安排在同一時間，因此甲、乙都只能在這四所院校中選擇一所參加其面試，假設每位同學選擇各個院校是等可能的，則甲、乙選擇同一所院校的概率為( )
ab．cd．
4．有兩張卡片，一張的正反面分別寫著0和1，另一張的正反面分別寫著4和5，將兩張卡片排在一起組成乙個兩位數，則所組成的兩位數能被5整除的概率是( )
ab．cd．5．一名同學先後投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數記為x，第二次向上的點數記為y，在平面直角座標系xoy中，以(x，y)為座標的點落在直線2x＋y＝8上的概率為________.
提公升訓練
6．從1，2，3，4這四個數中一次性隨機地取兩個數，則其中乙個數是另乙個數的2倍的概率是( )
ab．cd．
7．同時擲兩個骰子，則向上的點數之差的絕對值為4的概率是( )
ab．cd．
8．從0到9這10個數字中任取3個數字組成乙個沒有重複數字的三位數，則這個數能被3整除的概率為( )
ab．cd．9．甲、乙二人參加知識競答，共有10道不同的題目，其中6道選擇題，4道判斷題，甲、乙兩人依次各抽一道題，則甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是________.
10．從1，2，3，4，5這五個數中，隨機抽取2個不同的數，則這2個數的和為偶數的概率是________.
11．甲、乙兩組各有三名同學，他們在一次測驗中的成績的莖葉圖如圖181所示，如果分別從甲、乙兩組中各隨機挑選一名同學，則這兩名同學的成績之差的絕對值不超過3的概率為________.
圖181
12．從集合中依次有放回地隨機抽取2次，每次抽取1個數，則2次抽取的數之和等於4的概率是________.
13．甲、乙、丙三個車床加工的零件分別為350個、700個、1050個，現用分層抽樣的方法隨機抽取6個零件進行檢驗.
(1)求從甲、乙、丙三個車床中抽取的零件的個數；
(2)從抽取的6個零件中任意取出2個，已知這2個零件都不是甲車床加工的，求其中至少有1個是乙車床加工的概率.
14．2023年「五一」期間，高速公路車輛較多，交通部門通過路面監控裝置抽樣調查了某一山區路段汽車的行駛速度.採用的方法是：按到達監控點先後順序，每隔50輛抽取一輛，總共抽取120輛，分別記下其行車速度(km/h)，並將行車速度分成七段[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]後得到如圖182所示的頻率分布直方圖.
據**答下列問題：
圖182
(1)求a的值，並說明交通部門採用的是什麼抽樣方法；
(2)估計這120輛車行駛速度的眾數和中位數(精確到0.1)；
(3)若該路段的車速達到或超過90 km/h即視為超速行駛，試根據樣本估計該路段車輛超速行駛的概率.
15．某中學高三(1)班排球隊和籃球隊各有10名同學，現測得排球隊10名同學的身高(單位：cm)分別是162，170，171，182，163，158，179，168，183，168，籃球隊10名同學的身高(單位：cm)分別是170，159，162，173，181，165，176，168，178，179.
(1) 請把兩隊身高資料記錄在如圖183所示的莖葉圖中，並指出哪個隊的身高方差較小(無需計算).
圖183
(2)現從兩隊所有身高超過178 cm的同學中隨機抽取三名同學，則其中兩人來自排球隊一人來自籃球隊的概率是多少？
專題限時集訓(十八)
【基礎演練】
1．d [解析] 「至少有乙個黑球」且含「1黑1紅」，「2黑」兩種情況，其中「2黑」與「都是黑球」不互斥，a錯；「到少有乙個黑球」與「都是紅球」既互斥也對立，b錯；「至少有乙個黑球」與「至少有乙個紅球」不是互斥事件，c錯；只有d正確．
2．d [解析] 「甲不輸」即為「甲獲勝」或「甲、乙二人平局」，設「甲、乙二人平局」 的概率為p，則95%＝50%＋p，得p＝45%.
3．b [解析] 甲、乙選擇院校的方法共有4×4＝16(種)，其中二人選擇同一所院校的方法有4種，所以其概率p＝.
4．d [解析] 由題意可知， 共有6個基本事件，其中符合題意的基本事件有3個，故所求的概率為＝.
5． [解析] 滿足條件的點的座標有(1，6)，(2，4)，(3，2)，故所求的概率為＝.
【提公升訓練】
6．b [解析] 一次性地隨機取兩個數，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種取法，其中乙個是另乙個的2倍的取法有(1，2)，(2，4)，故其概率為.
7．c [解析] 同時拋擲兩個骰子，向上的點數共有36個結果，其中點數之差的絕對值為4的結果有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)，所求的概率為＝.
8．c [解析] 從0到9這10個數字中任取3個數字組成乙個沒有重複數字的三位數，共有a－a＝648(個)，其中，能被3整除的三位數可以分為「含0」與「不含0」兩類；
「含0」類：由(0，1，2)，(0，1，5)，(0，1，8)，(0，2，4)，(0，2，7)，(0，4，5)，(0，4，8)，(0，5，7)，(0，7，8)，(0，3，6)，(0，3，9)，(0，6，9)這幾組資料構成，它們組成的無重複數字的三位數有12ca個．
「不含0」類：(1)含3，6，9中的乙個，另外兩個數字分別為(1，2)，(1，5)，(1，8)，(2，4)，(2，7)，(4，5)，(4，8)，(5，7)，(7，8)，它們組成的無重複數字的三位數有3×9a＝27a (個)；
(2)由3，6，9三個數字構成無重複數字的三位數有a個；
(3)由(1，4，7)，(2，5，8)組成無重複數字的三位數有2a個．
故從0到9這10個數字中任取3個數字組成乙個沒有重複數字的三位數中能被3整除的共有12ca＋30a＝228(個)，故所求概率p＝＝.
9． [解析] 由題意可知，基本事件的總數為a＝90，基中甲、乙兩人均抽到判斷題的基本事件的個數是a＝12，故甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是1－＝.
10． [解析] 從5個數中任取2個，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10種情況，其中和為偶數的情況有4種，所以其概率p＝＝.
11． [解析] 基本事件總數為3×3＝9，其中成績之差超過3的只有甲組的88和乙組的92，故所求概率為1－＝.
12． [解析] 有放回地取兩次，共有16種可能，和為4，共有3種可能，p＝.
13．解： (1)由分層抽樣可知，從甲、乙、丙三個車床中抽取的零件的個數分別為1，2，3.
(2)設抽取的6個零件為a1，b1，b2，c1，c2，c3.
已知抽取的這2個零件都不是甲車床加工的，則所有可能的結果為
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，
(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10種情況．
其中至少有1個是乙車床加工的，則可能結果為
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2), (b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2), (b2，c3)，
共7種情況．故所求概率p＝0.7.
14．解： (1)由頻率分布直方圖可知(a＋0.05＋0.04＋0.02＋0.02＋0.005＋0.005)×5＝1，解得a＝0.06.
該抽樣方法是系統抽樣．
(2)眾數的估計值即為最高矩形的中點，
故眾數的估計值為77.5 km/h.
設中位數的估計值為x，則0.005×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x≈77.9.
即中位數的估計值是77.9 km/h.
(3)樣本中，車速在[90，95]的頻率為0.005×5＝0.025，故
估計該路段車輛超速行駛的概率p＝0.025.
15．解： (1)莖葉圖如圖所示，易知籃球隊的身高方差較小．
(2)兩隊所有身高超過178 cm的同學共有5人，其中
排球隊有3人，記為a，b，c，
籃球隊有2人，記為a，b.
則從5人中抽取3名同學的基本事件為
abc，aba，abb，aca，acb，aab，
bca，bcb，bab，cab，共10個．
其中兩人來自排球隊一人來自籃球隊所含的事件有
aba，abb，aca，acb，bca，bcb，共6個.
所以兩人來自排球隊一人來自籃球隊的概率p＝＝.
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