階段性綜合檢測(七)
(必做題部分：時間120分鐘，滿分160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，把答案填
在題中橫線上)
1．(2023年青島質檢)複數(i是虛數單位)的實部是________．
解析：因為＝＝＋，所以複數(i是虛數單位)的實部是.
答案：2．(2023年揚州調研)執行如圖所示的程式框圖，若p＝4，則輸出的s
解析：由程式框圖知s＝＋＋＋＝.
答案：3．(2023年合肥第一次質檢)觀察下表的第一列，填空：
答案：(b1bn)
4．(2023年南京第一次調研)複數z＝對應的點在第________象限．
解析：z＝＝＝－1＋i，其對應的點的座標為(－1,1)，所以點在第二象限．
答案：二
5．設0＜θ＜，已知a1＝2cosθ，an＋1＝(n∈n＋)，猜想an
解析：因為0＜θ＜，所以a2＝＝2cos，
a3＝＝2cos，a4＝＝2cos，
於是猜想an＝2cos (n∈n＋)．
答案：2cos
6．(2023年南通第一次調研)根據下面一組等式：
s1=1,
s2=2+3=5,
s3=4+5+6=15,
s4=7+8+9+10=34,
s5=11+12+13+14+15=65,
s6=16+17+18+19+20+21=111.
可得s1＋s3＋s5＋…＋s2n－1
解析：從已知數表得s1＝1，s1＋s3＝16＝24，s1＋s3＋s5＝81＝34，從而猜想s1＋s3＋…＋s2n－1＝n4.
答案：n4
7．複數的共軛複數是________．
解析：因為＝＝，所以其共軛複數為＋i.
答案：＋i
8．已知x，y∈r，i為虛數單位，且(x－2)i＋y＝1＋i，則()x＋y的值為________．
答案：－4
9．(2023年南京第一次調研)把正整數按一定的規則排成了如圖所示的三角形數表．設aij(i，j∈n*)是位於這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j列的數，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為________．
解析：由三角形數表可以看出其奇數行為奇數列，偶數行為偶數列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個奇數，又前31個奇數行內數的個數的和為961，前32個奇數行內數的個數的和為1024，故2009在第32個奇數行內，所以i＝63，因為第63行的第乙個數為2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
答案：107
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈n＋都成立，那麼a，b，c的值分別為________．
解析：∵已知等式對一切n∈n＋成立，∴當n＝1,2,3時也成立，
即解得答案：
11．某電信公司推出一種手機月費方案為：若全月的通訊時間不超過150分鐘，則收固定的月費60元；若全月的通訊時間超過150分鐘，則除固定的月費之外，對超過150分鐘的部分按每分鐘0.30元收費．下面是計算手機月費的演算法的流程圖，其中處理框中應填上的條件是________．
解析：若全月的通訊時間超過150分鐘，則在固定的月費60元之外，對超過150分鐘的部分按每分鐘0.30元收費，則在t>150時，月費為y＝60＋0.
30(t－150)．結合演算法流程圖，可知處理框中應填y←60＋0.30(t－150)．
答案：y←60＋0.30(t－150)
12．兩點等分單位圓時，有相應正確關係為sinα＋sin(π＋α)＝0；三點等分單位圓時，有相應正確關係為sinα＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四點等分單位圓時的相應正確關係為________．
解析：模擬推理可知，四等分單位圓時，α與α＋π的終邊互為反向延長線，α＋與α＋的終邊互為反向延長線，如圖．
答案：sinα＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0
13．有一演算法流程圖如圖，則該演算法解決的是________．
答案：輸出不大於660能被10整除的所有正整數
14．(2023年皖南八校模擬)在計算「1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)」時，某同學學到了如下一種方法：
因為k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，
所以得1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．
各式相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)．
模擬上述方法，請你計算「1×3＋2×4…＋n(n＋2)」，其結果寫成關於n的一次因式的積的形式為________．
解析：∵k(k＋2)＝[k(k＋2)(k＋4)－(k－2)k(k＋2)]，
∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n(n＋2)
＝[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－1×3×5＋4×6×8－2×4×6＋5×7×9－3×5×7＋6×8×10－4×6×8＋…＋n(n＋2)(n＋4)－(n－2)n(n＋2)]
＝[－(－1)×1×3－0×2×4＋(n－1)(n＋1)(n＋3)＋n(n＋2)(n＋4)]＝(2n3＋9n2＋7n)＝n(n＋1)(2n＋7)．
答案： n(n＋1)(2n＋7)
二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分14分)已知關於x，y的方程組
有實數解，求a，b的值．
解：由第乙個等式得，解得.
將上述結果代入第二個等式中得5＋4a－(10－4＋b)i＝9－8i.由兩複數相等得，解得.
16．(本小題滿分14分)假設a，b，c，d∈r且ad－bc＝1.
求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
證明：假設a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
∵ad－bc＝1，
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.
∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.
∴(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.
∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0.
∴a＝b＝c＝d＝0，
∴ad－bc＝0，這與ad－bc＝1矛盾，
從而假設不成立，原命題成立，
即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1成立．
17．(本小題滿分14分)某「兒童之家」開展親子活動，計畫活動按以下步驟進行：首先，兒童與家長按事先約定的時間來到「兒童之家」，然後，一部分工作人員接待兒童，做活動前的準備；同時另一部分工作人員接待家長，交流兒童本週的表現；第三步，按照親子活動方案進行活動；第四步，啟導員填寫親子活動總結記錄；同時家長填寫反饋卡，最後啟導員填寫服務跟蹤表．你能為「兒童之家」的這項活動設計乙個活動流程圖嗎？
解：活動流程圖如圖所示．
接待兒童做接待家長交流
活動前準備兒童本週表現
啟導員填寫親子家長填寫親子
活動總結記錄活動反饋卡
18．(本小題滿分16分)已知z是複數，z＋2i，均為實數(i為虛數單位)，且複數(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限內，求實數a的取值範圍．
解：設z＝x＋yi(x，y∈r)，則z＋2i＝x＋(y＋2)i，
＝＝＝(2x－y)＋(x＋2y)i，
因為z＋2i，均為實數，
所以，解得，
所以z＝4－2i，
所以(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
又複數(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限內，
所以，解得2＜a＜6，
所以實數a的取值範圍是(2,6)．
19．(本小題滿分16分)已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求證：＋≤2.
證明：要證＋≤2，
只要證：a＋＋b＋＋2≤4，
∵由a＋b＝1，
故只要證：≤1，
只要證：(a＋)(b＋)≤1，只要證：ab≤，
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，
∴ab≤，故原不等式成立．
20．(本小題滿分16分)(1)已知x，y∈r，求證：不等式：
①x2＋y2≥(x＋y)2；
②x2＋y2≥(x＋y)2；
③x2＋y2≥(x＋y)2；
(2)根據上述不等式，請你推出更一般的結論，並證明你的結論．
解：(1)證明：①∵ x2＋y2－(x＋y)2
＝x2＋y2－x2－xy－y2
＝x2－xy＋y2
＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥(x＋y)2.
②∵x2＋y2－(x＋y)2
＝x2＋y2－xy
＝(x2＋y2－2xy)
＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥(x＋y)2.
③∵x2＋y2－(x＋y)2
＝x2＋y2－(x2＋xy＋y2)
＝x2＋y2－xy
＝(x2＋y2－2xy)
＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥(x＋y)2.
(2)一般的結論是：已知x，y∈r，
a，b都是正數，且a＋b＝1，
則ax2＋by2≥(ax＋by)2.
證明如下：∵a＋b＝1，
∴a＝1－b＞0，b＝1－a＞0.
∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2
＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2
＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2
＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)
＝a(1－a)(x－y)2，
又∵a＞0,1－a＞0，(x－y)2≥0，
∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，
即ax2＋by2≥(ax＋by)2(其中a＋b＝1且a＞0，b＞0)成立.
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