2023年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）
數學（文科）
【整理】佛山市三水區華僑中學駱方祥（
一、 填空題（本大題共有14題，滿分56分）
【解析】依據正弦函式的週期性，可以找其中等於零或者小於零的項.
【點評】本題主要考查正弦函式的圖象和性質和間接法解題.解決此類問題需要找到規律，從題目出發可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.
三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）
19．如圖，在三稜錐p-abc中，pa⊥底面abc，d是
pc的中點.已知∠bac=，ab=2，ac=2，
pa=2.求：
（1）三稜錐p-abc的體積；（6分）
（2）異面直線bc與ad所成的角的大小（結果用反三
角函式值表示）.（6分）
[解]（12分
三稜錐p-abc的體積為
. 6分
（2）取pb的中點e，連線de、ae，則
ed∥bc，所以∠ade（或其補角）是異面直線
bc與ad所成的角8分
在三角形ade中，de=2，ae=，ad=2，
，所以∠ade=.
因此，異面直線bc與ad所成的角的大小是12分
【點評】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關係，考查空間想象能力和推理論證能力．綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運用.本題源於《必修2》立體幾何章節複習題，複習時應注重課本，容易出現找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬於中檔題．
20．已知函式.
（1）若，求的取值範圍；（6分）
（2）若是以2為週期的偶函式，且當時，有，求函式
的反函式.（8分）
[解]（1）由，得.
由得3分
因為，所以，.
由得6分
（2）當x[1,2]時，2-x[0,1]，因此
10分由單調性可得.
因為，所以所求反函式是，. ……14分
【點評】本題主要考查函式的概念、性質等基礎知識以及數形結合思想，熟練掌握指數函式、對數函式、冪函式的圖象與性質是關鍵，屬於中檔題．
21．海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸
正方向建立平面直角座標系（以1海浬為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海
裡a處，如圖. 現假設：①失事船的移動路徑可視為拋物線
；②定位後救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救
援船出發小時後，失事船所在位置的橫座標為.
（1）當時，寫出失事船所在位置p的縱座標. 若此時
兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）問救援船的時速至少是多少海浬才能追上失事船？（8分）
[解]（1）時，p的橫座標xp=，代入拋物線方程
中，得p的縱座標yp=32分
由|ap|=，得救援船速度的大小為海浬/時4分
由tan∠oap=，得∠oap=arctan，故救援船速度的方向
為北偏東arctan弧度6分
（2）設救援船的時速為海浬，經過小時追上失事船，此時位置為.
由，整理得.……10分
因為，當且僅當=1時等號成立，
所以，即.
因此，救援船的時速至少是25海浬才能追上失事船14分
【點評】本題主要考查函式的概念、性質及導數等基礎知識．選擇恰當的函式模型是解決此類問題的關鍵，屬於中檔題．考查靈活運算數形結合、分類討論的思想方法進行**、分析與解決問題的能力．屬於中檔偏上題目，也是近幾年高考的熱點問題．
22．在平面直角座標系中，已知雙曲線.
（1）設f是c的左焦點，m是c右支上一點. 若|mf|=2，求過m點的座標；（5分）（2）過c的左頂點作c的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的
面積；（5分）
（3）設斜率為的直線l2交c於p、q兩點，若l與圓相切，
求證：op⊥oq；（6分）
[解]（1）雙曲線，左焦點.
設，則2分
由m是右支上一點，知，所以，得.
所以5分
（2）左頂點，漸近線方程：.
過a與漸近線平行的直線方程為：，即.
解方程組，得8分
所求平行四邊形的面積為10分
（3）設直線pq的方程是.因直線與已知圓相切，故，
即 (*).
由，得.
設p(x1, y1)、q(x2, y2)，則.
，所以由(*)知，所以op⊥oq16分
【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質及其直線與雙曲線的關係．特別要注意直線與雙曲線的關係問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，並且相互垂直，這些性質的運用可以大大節省解題時間，本題屬於中檔題 ．
23．對於項數為m的有窮數列數集，記（k=1,2,…,m），即
為中的最大值，並稱數列是的控制數列.如1,3,2,5,5的控制數列是
1,3,3,5,5.
（1）若各項均為正整數的數列的控制數列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分）
（2）設是的控制數列，滿足（c為常數，k=1,2,…,m）.
求證：（k=1,2,…,m）；（6分）
（3）設m=100，常數.若，是的控制數列，
求.[解]（1）數列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；
2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 54分
（2）因為，，
所以6分
因為，，
所以，即8分
因此10分
（3）對，；；
比較大小，可得12分
因為，所以，即；
即. 又，
從而，，，. ……15分
因此18分【點評】本題主要考查數列的通項公式、等差、等比數列的基本性質等基礎知識，本題屬於資訊給予題，通過定義「控制」數列，考查考生分析**及推理論證的能力．綜合考查數列的基本運算，數列問題一直是近幾年的命題重點內容，應引起足夠的重視．
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