2023年普通高校招生統一考試江蘇卷(數學)
1.的最小正週期為，其中，則
【解析】本小題考查三角函式的週期公式。。
答案10
2.乙個骰子連續投2次，點數和為4的概率為
【解析】本小題考查古典概型。基本事件共個，點數和為4的有、、共3個，故。
答案3.表示為，則
【解析】本小題考查複數的除法運算，，因此=1。
答案14.則的元素個數為
【解析】本小題考查集合的運算和解一元二次不等式。由得
因為，所以，因此，元素的個數為0。
答案05.的夾角為，，則
【解析】本小題考查向量的線形運算。
因為，所以=49。
因此7。
答案76.在平面直角座標系中，設d是橫座標與縱座標的絕對值均不大於2的點構成的區域，e是到原點的距離不大於1的點構成的區域，向d中隨意投一點，則落入e中的概率為
【解析】本小題考查古典概型。如圖：區域d表示邊長為4的正方形abcd的內部（含邊界），區域e表示單位圓及其內部，因此。
答案7.某地區為了解70~80歲老人的日平均睡眠時間（單位：h），隨機選擇了50位老人進行調查。下表是這50位老人日睡眠時間的頻率分布表。
在上述統計資料的分析中，一部分計算演算法流程圖，則輸出的s的值是
【解析】本小題考查統計與演算法知識。
答案6.42
8.直線是曲線的一條切線，則實數
【解析】本小題考查導數的幾何意義、切線的求法。，令得，故切點為，代入直線方程，得，所以。
答案9.在平面直角座標系中，設三角形abc的頂點座標分別為，點**段oa上（異於端點），設均為非零實數，直線分別交於點e，f，一同學已正確算出的方程：，請你求of的方程
【解析】本小題考查直線方程的求法。畫草圖，由對稱性可猜想。
事實上，由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線ab與cp的交點f滿足此方程，又原點o也滿足此方程，故為所求的直線of的方程。
答案。10.將全體正整數排成乙個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行從左向右的第3個數為
【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式。前行共用了個數，因此第行從左向右的第3個數是全體正整數中的第個，即為。
答案11.的最小值為
【解析】本小題考查二元基本不等式的運用。由得，代入得，當且僅當時取「=」。
答案3。
12.在平面直角座標系中，橢圓的焦距為2，以o為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率
【解析】本小題考查橢圓的基本量和直線與圓相切的位置關係。如圖，切線互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。
答案13.若，則的最大值
【解析】本小題考查三角形面積公式及函式思想。
因為ab=2（定長），可以以ab所在的直線為軸，其中垂線為軸建立直角座標系，則，設，由可得，化簡得，即c在以（3，0）為圓心，為半徑的圓上運動。又。
答案14.對於總有成立，則
【解析】本小題考查函式單調性及恆成立問題的綜合運用,體現了分類討論的數學思想。
要使恆成立，只要在上恆成立。
當時，，所以，不符合題意，捨去。
當時，即單調遞減，，捨去。
當時1 若時在和上單調遞增，
在上單調遞減。
所以2 當時在上單調遞減，
，不符合題意，捨去。綜上可知a=4.
答案4。
15.如圖，在平面直角座標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交於a，b兩點，已知a，b的橫座標分別為。
（1） 求的值； （2） 求的值。
【解析】本小題考查三角函式的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式。由條件得，為銳角，
故。同理可得，
因此。（1）。
（2），
，從而。
16．在四面體abcd中，cb=cd，，且e，f分別是ab，bd的中點，
求證（i）直線；
（ii）。
證明：（i）e，f分別為ab，bd的中點
。（ii）又，
所以17．某地有三家工廠，分別位於矩形abcd的頂點a，b，及cd的中點p處，已知km, ,為了處理三家工廠的汙水，現要在矩形abcd的區域上（含邊界），且a，b與等距離的一點o處建造乙個汙水處理廠，並鋪設排汙管道ao，bo，op，設排汙管道的總長為ykm。
（i）按下列要求寫出函式關係式：
1 設，將表示成的函式關係式；
2 設，將表示成的函式關係式。
（ii）請你選用（i）中的乙個函式關係式，確定汙水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。
【解析】本小題考查函式最值的應用。
（i）①由條件可知pq垂直平分ab，，則
故，又，所以
。②，則，所以，
所以所求的函式關係式為。
（ii） 選擇函式模型①。
。令得，又，所以。
當時，，是的減函式；時，，是的增函式。
所以當時。當p位於線段ab的中垂線上且距離ab邊處。
18.設平面直角座標系中，設二次函式的圖象與座標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為c。
（1） 求實數的取值範圍；
（2） 求圓的方程；
（3） 問圓是否經過某定點（其座標與無關）？請證明你的結論。
【解析】本小題考查二次函式圖象與性質、圓的方程的求法。
（1）（2） 設所求圓的方程為。
令得又時，從而。
所以圓的方程為。
（3）整理為，過曲線
與的交點，即過定點與。
19.（i）設是各項均不為零的等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：
1 當時，求的數值；②求的所有可能值；
（ii）求證：對於乙個給定的正整數，存在乙個各項及公差都不為零的等差數列，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列。
【解析】本小題考查等差數列與等比數列的綜合運用。
（i）①當時，中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則。
若刪去，則有，即，化簡得；
若刪去，則有，即，化簡得。
綜上可知。
2 當時，中同樣不可能刪去首項或末項。
若刪去，則有，即，化簡得；
若刪去，則有，即，化簡得，捨去；
若刪去，則有，即，化簡得。
當時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列中，由於不能刪去首項和末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去，也有，這與矛盾；若刪去中的任意乙個，則必有，這與矛盾。綜上可知。
（3） 略
20.若為常數，且
(i) 求對所有的實數成立的充要條件（用表示）；
(ii) 設為兩實數，且，若，求證：在區間上的單調增區間的長度和為（閉區間的長度定義為）。
【解析】本小題考查充要條件、指數函式與絕對值、不等式的綜合運用。
（i）恆成立
若，則，顯然成立；若，記
當時，，
所以，故只需；
當時，，
所以，故只需。
（ii）如果，則的圖象關於直線對稱，
因為，所以區間關於直線對稱。
因為減區間為，增區間為，所以單調增區間的長度和為。
如果，結論的直觀性很強。
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